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1、第一节 定积分的概念和性质,第五章 定积分的概念与性质,第二节 微积分基本公式,第三节 定积分的换元积分法 和分部积分法,第四节 定积分的应用,第五节 反常积分（广义积分）,定积分是从大量实际问题中抽象出来的，和不定积分不同，但又与之有着密切的内在联系,在科学研究和生产实践中应用十分广泛。,一、定积分的定义,定义：,记为,积分上限,积分下限,积分和,求曲边梯形的面积？,二、实例,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,曲边梯形如图所示，,分割,近似,曲边梯形面积的近似值为,求和,曲边梯形面积为,取极限,说明：,(3)定积分存在定理：闭区间上的连续函数可积；闭区间上有界且只有有限个间断点 的函数可积。,
2、补充定义:,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,定积分的几何意义,a,b,例1 利用定义计算定积分,解,(1)分割,（2）取点,（3）求和,例2,证,性质1,二、定积分的基本性质,证,（此性质可以推广到有限个函数的情况）,性质2,补充：不论 的相对位置如何,上式总成立.,（定积分对于积分区间具有可加性）,性质3,性质4：,证,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）P91/2,性质5,性质6（定积分中值定理）,积分中值公式的几何解释：,第 一 节 结 束,记,称为积分上限函数。,二、积分上限函数及其导数,都有唯一确定的值与之对应，,第二节 微积分基本公式,如何证明：,回顾：导数的定义,分析：,证明：,定理表明,任何连续函数都有原函数.,例1 求,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,解,例2,例3,例4:,定理2（微积分基本定理）,三、牛顿莱布尼茨公式,证明：,令,牛顿莱布尼茨公式,例 计算,解：,第 二 节 结 束,第三节 定积分的换元积分法和分部积分法,定理1,一、定积分的换元积分法,例1 计算,解,令,例2 计算,解：,例3 计算,解:,令,原式,(P96),奇函数,例5 计算,例6 计算,解:,原式,偶函数,单位圆的面积,奇函数,例7 计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,二、定积分的分部积分法,例1 计算,解,例2 计算,解,第 三 节 结 束,
