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1、对坐标的曲面积分,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、对坐标的曲面积分的概念与性质,三、对坐标的曲面积分的计算法,四、两类曲面积分的联系,第八章,第三节 曲面积分,其方向用法向量指向,设 为有向曲面,有向曲面,表示:,其面元,在xoy面上的投影记为,的面积为,则规定,类似可规定,注意：小曲面块S往某坐标平面上投影时，S上各点的法向量的相应的方向余弦应保号（否则应对S再分块）。,如：，往平面xOy投影时应分成上下两块1:；2:,二、对坐标的曲面积分的概念与性质,1.引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为,求单位时间流过有向曲面 的流量.,分析:若 是面积为S 的平面,则流量(设体密度为1)就为斜
2、柱体体积,法向量:,流速为常向量:,对一般的有向曲面,用“大化小,常代变,近似和,取极限”,对稳定流动的不可压缩流体的,速度场,进行分析可得,则,设为光滑的有向曲面,在上定义了一个,意分割和在局部面元上任意取点,分,记作,P,Q,R 叫做被积函数;,叫做积分曲面.,或第二类曲面积分.,下列极限都存在,向量场,若对的任,2.定义.,引例中,流过有向曲面 的流体的流量为,称为Q在有向曲面上对 z,x的曲面积分;,称为R在有向曲面上对 x,y的曲面积分.,称为P在有向曲面上对 y,z的曲面积分;,三、对坐标的曲面积分的计算法,定理:设光滑曲面,取上侧,是 上的连续函数,则,证:,取上侧,若,则有,若
3、,则有,(前正后负),(右正左负),说明:,如果积分曲面 取下侧,则,计算方法可概括为：“一代、二投影、三定向”“一代”曲面方程代入被积函数；“二投影”给出在相应坐标平面上的投影区域；“三定向”即选取正负号。,例1 计算曲面积分 其中是长方体的整个表面的外侧，=（x，y，z）|0 xa，0yb，0zc。,应用公式（）就有,除3、4外，其余四片曲面在yOz面上的投影为零，因此,例2.计算,其中 是以原点为中心,边长为a的正立方,体的整个表面的外侧.,解:,利用对称性.,原式,的顶部,取上侧,的底部,取下侧,解:把 分为上下两部分,思考:下述解法是否正确:,例3.计算曲面积分,其中为球面,外侧在第
4、一和第八卦限部分.,说明：对坐标的曲面积分由于有的取向在内，所以具有和重积分，第一类曲线积分，第一类曲面积分在对称性问题上相反的结论。,即若关于xoy面对称，则,例4.设S 是球面,的外侧,计算,解:利用轮换对称性,有,四、两类曲面积分之间的联系,1设有向曲面由方程z=z(x，y)给出，在xOy面上的投影区域为Dxy，函数z=z(x，y)在Dxy上具有一阶连续偏导数，R(x，y，z)在上连续。如果取上侧，则由对坐标的曲面积分计算公式（1）有,另一方面，因上述有向曲面的法向量的方向余弦为,故由对面积的曲面积分计算公式有,由此可见，有,如果取下侧，则由（1）有,合并（2）、（3）、（4）三式，得两
5、类曲面积分之间的如下关系：,（5）,其中cos、cos、cos是有向曲面上点（x，y，z）处的法向量的方向余弦。,令,向量形式,有向曲面元,例5 把对坐标的曲面积分 化成对面积的曲面积分，其中是z=8(x2+y2)在xOy面上方部分的上侧,解：N=zx，zy，1=2x，2y，1 n=cos，cos，cos,例6.位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为,解:,求E 通过球面:r=R 外侧的电通量.,例7.设,是其外法线与z轴正向,夹成的锐角,计算,解:,例8.计算曲面积分,其中,解:利用两类曲面积分的联系,有,原式=,旋转抛物面,介于平面 z=0,及 z=2 之间部分的下侧.,原式=,内容小结
6、,定义:,1.两类曲面积分及其联系,性质:,联系:,思考:,的方向有关,上述联系公式是否矛盾?,两类曲线积分的定义一个与 的方向无关,一个与,2.常用计算公式及方法,面积分,第一类(对面积),第二类(对坐标),二重积分,(1)统一积分变量,代入曲面方程(方程不同时分片积分),(2)积分元素投影,第一类：面积投影,第二类：有向投影,(4)确定积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.,转化,当,时，,（上侧取“+”,下侧取“”),类似可考虑在yoz面及zox 面上的二重积分转化公式.,思考与练习,1.设,则,取上侧时,取下侧时,是平面,在第四卦限部分的上侧,计算,提示:,求出 的法方向余弦,转化成第一类曲面积分,2.设,备用题 求,取外侧.,解:,注意号,其中,利用轮换对称性,
