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1、,第三节 极限应用的一个例子连续函数,主要内容：一、连续函数的概念二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质,一、连续函数 连续函数是微积分研究的主要对象.,增量的定义 设函数 y=f(x)的定义域是X,当自变量从定点 x0 变化到新的点x 时,它们的差称为自变量的增量(或叫做改变量).记做,注意:x可能是正的,也可能 是负的.比如：,下面的问题帮助我们理解连续的定义：,连续函数的定义,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,这个定义可以帮助理解函数在一点连续的本质：自变量变化很小时，函数值的变化也很小.,在考虑函数的连续性时，我们一般分三步考虑：,例1 证明 y=sinx 在定义域内连
2、续.,由于,于是,证,因此 y=sinx 在定义域内连续.,于是,f(x),函数的间断点,从图形中可以看出 x=1是分段点,代入法:利用连续函数的定义,求函数极限的方法.,例4,由求极限四则运算法则,由连续函数的定义,二、初等函数的连续性,例如,四则运算的连续性,反函数与复合函数的连续性,定理 严格单调的连续函数必有严格单调的连续 反函数.,推论 反三角函数在其定义域内皆连续.,该定理表明极限符号可以与函数符号互换.,初等函数的连续性,基本初等函数在定义域内是连续的.,一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指定义域内的子区间.,例5,例6,解,解,1）最大值和最小值定理,三、闭区间上连续函数的性质,注意:定理中的两个条件缺一不可.若区间是开区间，定理不一定成立;若区间内有间断点，定理不一定成立.,例如:,f（x）无最大值和最小值.,例7,证,由推论,例7,四、极限和连续的应用,即本利和将按照指数规律增长.,现实世界中不少现象的数学模型是如细胞的繁衍，放射元素的衰变，树木的生长等.,e,
