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1、1 层次分析方法建模,一、层次分析法的基本步骤,1）建立层次分析结构模型,深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。,2）构造判断矩阵,用相互比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。,3）计算权向量并作一致性检验,对每一相互比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。,4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）,组合权向量可作为决策的定量依据。,3,层次分析法（AHP）求解流程图,二.层次分析法的广泛应用,应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运
2、输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。,处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。,建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。,构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。,5,整个层次结构分析模型可以分成三层：最高层(目的层)合理使用利润，促进企业发展。中间层(各种使用企业留成利润方案所应当考虑的准则)进一步调动广大职工劳动积极性，大力提高企业技术水平和尽力改善职工物质文化生活。最低层（所考虑的五种措施）选择最优方案。这种层次结构分析模型可用下图所示。,6,目标（O）层,准则（C）层,措施层(P),例1 国家实力分析,例2 工作选择,例3 横渡江河、海峡方
3、案的抉择,例3 横渡江河、海峡方案的抉择,例4 科技成果的综合评价,三.层次分析法的若干问题,正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接近一致阵的程度？,怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？,为什么用特征向量作为权向量？,当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？,1.正互反阵的最大特征根和特征向量的性质,正互矩阵：设，若元素 满足,一致矩阵：设 为一个正互矩阵，并且满足,一致矩阵性质：,设，则有(1)(2)A的每一行(列)元素均是第一行(列)相应元素的正倍数，并且rank(A)=1(3)A的最大特征值，其余的特征值均为0.(4)若
4、对应的特征向量为，则,定理1 正矩阵A 的最大特征根是正单根，对应正特征向量w，且,定理2 n阶正互反阵A的最大特征根,是 A为一致阵的充要条件.,1）将 A的每一列向量归一化到 得,2.正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法,简化计算的思路一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。,和法和法的步骤如下：,2）对 按行求和得,4）计算最大特征值,3）将 归一化得，则 为近似特征向量；,精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010,根法取列向量的几何平均,幂法迭代算法,1）任取初始向量w(0),k:=0，设置精度
5、,2)计算,3）归一化,5)计算,简化计算,4）若，停止；否则，k:=k+1,转2,18,关于如何确定成对比较矩阵 中元素 的值,Saaty等建议试用19尺度，即 的取值范围是1,2，,9以及倒数是1,12,19,判断矩阵的元素一般采用19及其倒数的标度方法。,19,当CR=0.1时，必须重新调整成对比较矩阵A，直至具有满意的一致性。,一致性指标,随机一致性指标,一致性比率,3.特征向量作为权向量成对比较的多步累积效应,问题,一致阵A,权向量w=(w1,wn)T,aij=wi/wj,A不一致,应选权向量w使wi/wj与 aij相差尽量小（对所有i,j)。,非线性最小二乘,线性化对数最小二乘,结
6、果与根法相同,按不同准则确定的权向量不同，特征向量有什么优点。,成对比较,Ci:Cj(直接比较）,aij 1步强度,aisasj Ci通过Cs 与Cj的比较,aij(2)2步强度,更能反映Ci对Cj 的强度,多步累积效应,体现多步累积效应,定理1,特征向量体现多步累积效应,4.不完全层次结构中组合权向量的计算,完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联,不完全层次结构,设第2层对第1层权向量w(2)=(w1(2),w2(2)T已定,第3层对第2层权向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得,讨论由w(2),W(3
7、)=(w1(3),w2(3)计算第3层对第1层权向量w(3）的方法,例:评价教师贡献的层次结构,P1,P2只作教学,P4只作科研,P3兼作教学、科研。,C1,C2支配元素的数目不等,不考虑支配元素数目不等的影响,仍用 计算,支配元素越多权重越大,用支配元素数目n1,n2对w(2)加权修正,若C1,C2重要性相同,w(2)=(1/2,1/2)T,P1P4能力相同,w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T,公正的评价应为：P1:P2:P3:P4=1:1:2:1,再用 计算,支配元素越多权重越小,教学、科研任务由上级安排,教学、科研靠个人积极性,考察一个
8、特例：,5.残缺成对比较阵的处理,miA第i 行中的个数,为残缺元素,6.更复杂的层次结构,递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。,更复杂的层次结构：层内各元素间存在相互影响或支配；层间存在反馈或循环。,例,层次分析法的优点,系统性将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策系统分析（与机理分析、测试分析并列）；,实用性定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题；,简洁性计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。,层次分析法的局限,囿旧只能从原方案中选优，不能产生新方案；,粗略定性化为定量，结果粗糙；,主观主观因素作用大，结果可能难以服人。,你只闻到我的香水，却没看到我的汗水。你否定我的现在，我决定我的未来！你嘲笑我一无所有，不配去爱，我可怜你总是等待。你可以轻视我们的年轻，我们会证明这是谁的时代。梦想是注定孤独的旅行，路上少不了质疑和嘲笑，但那又怎样？哪怕遍体鳞伤，也要活得漂亮！,
