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1、7.4 空间曲面与曲线,安徽电气工程职业技术学院基础部 数学教研室,一、曲面及其方程,空间曲面上任意一点的坐标 所满足的函数关系式，叫做该曲面的方程本节将从两个方面讨论几种常见的二次曲面：(1)根据已知条件，求曲面方程；(2)已知曲面方程，描绘出曲面的大致形状,本次课教学重点放在已知曲面方程，描 绘出曲面的大致形状上,二、几种常见的曲面,解:设 为球面上任意一点，则 即,1、球面,例1 求球心在点，半径为 的球面方程,也就是,特别地，球心在原点的球面方程为,说明 球面方程的特点：,（1）,项系数相同；,（2）没有 项,提出问题：,方程 表示什么曲面？,定义,2、柱面,直线L平行于定直线并沿定曲
2、线C移动所形成的曲面叫做柱面,定义,2、柱面,直线L平行于定直线并沿定曲线C移动所形成的曲面叫做柱面,定曲线C叫做柱面的准线动直线L叫做柱面的母线,定义,2、柱面,直线L平行于定直线并沿定曲线C移动所形成的曲面叫做柱面,定曲线C叫做柱面的准线动直线L叫做柱面的母线,定义,2、柱面,直线L平行于定直线并沿定曲线C移动所形成的曲面叫做柱面,定曲线C叫做柱面的准线动直线L叫做柱面的母线,定义,2、柱面,直线L平行于定直线并沿定曲线C移动所形成的曲面叫做柱面,定曲线C叫做柱面的准线动直线L叫做柱面的母线,定义,2、柱面,直线L平行于定直线并沿定曲线C移动所形成的曲面叫做柱面,定曲线C叫做柱面的准线动直
3、线L叫做柱面的母线,定义,2、柱面,直线L平行于定直线并沿定曲线C移动所形成的曲面叫做柱面,定曲线C叫做柱面的准线动直线L叫做柱面的母线,定义,2、柱面,直线L平行于定直线并沿定曲线C移动所形成的曲面叫做柱面,定曲线C叫做柱面的准线动直线L叫做柱面的母线,定义,2、柱面,直线L平行于定直线并沿定曲线C移动所形成的曲面叫做柱面,定曲线C叫做柱面的准线动直线L叫做柱面的母线,定义,2、柱面,直线L平行于定直线并沿定曲线C移动所形成的曲面叫做柱面,定曲线C叫做柱面的准线动直线L叫做柱面的母线,定义,2、柱面,直线L平行于定直线并沿定曲线C移动所形成的曲面叫做柱面,定曲线C叫做柱面的准线动直线L叫做柱
4、面的母线,例3 求准线为,母线平行于 z 轴的圆柱面方程,在空间内,表示圆柱面,面上的圆,说明 注意比较同一方程在平面直角坐标系 与空间直角坐标系中对应图形的不同,如,在数轴上表示一个点，在平面直角坐标系中表示一条直线，而在空间直角坐标系中表示一个平面,在平面内,表示圆,在空间怎样表示,面上的圆呢？,表示抛物柱面,表示椭圆柱面.,表示平面,抛物线,平面解析几何中,空间解析几何中,方 程,直线,平面,圆,圆柱面,抛物柱面,思考题,指出下列方程的图形:,柱面方程的特点：,方程中只含有两个变量，且在方程中缺哪个变量，该柱面的母线就平行于其对应的坐标轴,，,3、旋转曲面,一条平面曲线C绕同一平面上的一
5、条定直线L旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，平面曲线C和定直线L依次叫做旋转曲面的母线和轴我们只讨论母线在坐标面上，绕某坐标轴旋转所得的旋转曲面,3、旋转曲面,一条平面曲线C绕同一平面上的一条定直线L旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，平面曲线C和定直线L依次叫做旋转曲面的母线和轴我们只讨论母线在坐标面上，绕某坐标轴旋转所得的旋转曲面,3、旋转曲面,一条平面曲线C绕同一平面上的一条定直线L旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，平面曲线C和定直线L依次叫做旋转曲面的母线和轴我们只讨论母线在坐标面上，绕某坐标轴旋转所得的旋转曲面,3、旋转曲面,一条平面曲线C绕同一平面上的一条定直线L旋转一周所形成的曲面
6、叫做旋转曲面，平面曲线C和定直线L依次叫做旋转曲面的母线和轴我们只讨论母线在坐标面上，绕某坐标轴旋转所得的旋转曲面,3、旋转曲面,一条平面曲线C绕同一平面上的一条定直线L旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，平面曲线C和定直线L依次叫做旋转曲面的母线和轴我们只讨论母线在坐标面上，绕某坐标轴旋转所得的旋转曲面,3、旋转曲面,一条平面曲线C绕同一平面上的一条定直线L旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，平面曲线C和定直线L依次叫做旋转曲面的母线和轴我们只讨论母线在坐标面上，绕某坐标轴旋转所得的旋转曲面,3、旋转曲面,一条平面曲线C绕同一平面上的一条定直线L旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，平面曲线C和定直
7、线L依次叫做旋转曲面的母线和轴我们只讨论母线在坐标面上，绕某坐标轴旋转所得的旋转曲面,3、旋转曲面,一条平面曲线C绕同一平面上的一条定直线L旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，平面曲线C和定直线L依次叫做旋转曲面的母线和轴我们只讨论母线在坐标面上，绕某坐标轴旋转所得的旋转曲面,3、旋转曲面,一条平面曲线C绕同一平面上的一条定直线L旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，平面曲线C和定直线L依次叫做旋转曲面的母线和轴我们只讨论母线在坐标面上，绕某坐标轴旋转所得的旋转曲面,3、旋转曲面,一条平面曲线C绕同一平面上的一条定直线L旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，平面曲线C和定直线L依次叫做旋转曲面的母线和轴
8、我们只讨论母线在坐标面上，绕某坐标轴旋转所得的旋转曲面,3、旋转曲面,一条平面曲线C绕同一平面上的一条定直线L旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，平面曲线C和定直线L依次叫做旋转曲面的母线和轴我们只讨论母线在坐标面上，绕某坐标轴旋转所得的旋转曲面,3、旋转曲面,一条平面曲线C绕同一平面上的一条定直线L旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，平面曲线C和定直线L依次叫做旋转曲面的母线和轴我们只讨论母线在坐标面上，绕某坐标轴旋转所得的旋转曲面,例 求由平面上的曲线C：绕 轴 旋转所得的旋转曲面的方程,设 为这旋转曲面上任意一点，它总可以看成由已知曲线上的某点 绕 轴旋转而得到的，,故曲线绕 z 轴旋转所得
9、曲面方程为,解：,曲线绕 轴旋转所得的旋转曲面的方程为,在yoz面上直线,绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,即,说明（1）求旋转曲面方程的方法：,对于坐标面上的曲线，绕哪个坐标轴旋转，曲线方程中对应的变量不变，另一个变量用其余两个变量的平方和开方的正负来代替即可,说明(2)旋转曲面方程的特点：,方程中含有两个变量的平方和,例如方程,表示旋转抛物面,巩固练习,下面有四个方程，四个图形，四个曲面的名称请指出它们的对应关系,方程：,(1),(2),(3),(4),四、小结,1比较平面和曲面方程2根据方程特征，识别曲面的类型；3熟悉以下几种常见的曲面的方程与图形：（1）球面 或（2）圆锥面 或（3）旋转抛物面 如（4）圆柱面 如 等,五、作业,必做题 教材习题七的习题4选做题：以 xOz 平面内曲线 为 母线，分别绕 轴和 轴旋转会形成 什么曲面？请写出曲面方程,并画图说明,解:绕 x 轴旋转,所成曲面方程为,绕 z 轴旋转,所成曲面方程为,选做题解答,
