工程力学-09扭转.ppt

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1、1,第九章 扭 转,工程力学,2,第九章 扭 转,9-1 引言 9-2 动力传递与扭矩 9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律 9-4 圆轴扭转横截面上的应力 9-5 极惯性矩与抗扭截面系数 9-6 圆轴扭转破坏与强度条件 9-7 圆轴扭转变形与刚度条件*9-8 非圆截面轴扭转简介,3,工 程 实 例,对称扳手拧紧镙帽,91 扭转的概念和实例,4,工 程 实 例,91 扭转的概念和实例,5,扭转：以横截面绕轴线作相对旋转为主要特征的变形形式。,扭力偶：使杆产生扭转变形的外力偶，其矩为扭力偶矩。,轴：凡是以扭转为主要变形的直杆,91 扭转的概念和实例,6,构件特征：等圆截面直杆圆轴。,受力特征：外

2、力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。,两个横截面之间绕杆轴线发生相对转动，称为扭转角。,变形特征：纵向线倾斜一个角度，称为剪切角(或称切应变)；,91 扭转的概念和实例,7,一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系,n 转速，转/分（rpm）,其中：角速度（1/s）,P 功率（W）,92 动力传递与扭矩,92 动力传递与扭矩,8,92 外力偶矩的计算 扭矩及扭矩图,功率、角速度与外力偶矩的关系：,一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系,92 动力传递与扭矩,9,功率、转速与外力偶矩的关系：,其中：P 功率，千瓦（kW）,其中：P 功率，马力（PS）,1PS=735.5W,1kW=1.36PS,n 转速，转

3、/分（rpm）,一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系,92 动力传递与扭矩,已知：n=1450r/min,P=10KN求轴AB上的扭矩,全部标准单位,P：KW,例题 P170,11,3 扭矩的符号规定：“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。,二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。2 截面法求扭矩,92 动力传递与扭矩,扭矩正负规定,右手螺旋法则,右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-),92 动力传递与扭矩,13,4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。,目 地,扭矩变化规律；,92 动力传递与扭矩,14,例9-1已

4、知：一传动轴，n=500r/min，主动轮B输入 PB=10kW，从动轮A、C输出 PA=4kW，PC=6kW.求 轴的扭矩，试绘制扭矩图。,解：外力偶矩,92 动力传递与扭矩,15,例9-1已知：一传动轴，n=500r/min，主动轮B输入 PB=10kW，从动轮A、C输出 PA=4kW，PC=6kW.求 轴的扭矩，试绘制扭矩图。,解：计算扭矩,92 动力传递与扭矩,16,93 切应力互等定理与剪切胡克定律,一、薄壁圆管的扭转应力,1.实验前,绘纵向线，绘圆周线。,93 切应力互等定理与剪切胡克定律,17,2.实验后,圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。各纵

5、向线均倾斜了同一微小角度。所有矩形网格均倾斜成同样大小的平行四边形。,93 切应力互等定理与剪切胡克定律,18,横截面和纵截面上无正应力 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应力，沿圆周大小不变，而且由于管壁很薄，沿壁厚也可视为均匀分布,方向与该截面的扭矩方向相同。,3.推论,单元体图,93 切应力互等定理与剪切胡克定律,19,薄壁圆筒扭转时切应力 大小,R0,宽*长,93 切应力互等定理与剪切胡克定律,20,二、纯剪切与切应力互等定理,1.纯剪切：单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。,2.切应力互等定理,单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然

6、成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。,93 切应力互等定理与剪切胡克定律,22,三、剪切虎克定律,与 的关系：,M 与 的关系：,93 切应力互等定理与剪切胡克定律,23,T=M,剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时（p)，切应力与切应变成正比关系。,93 切应力互等定理与剪切胡克定律,24,式中：G为剪切弹性模量，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。,剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导见后面章节）：,在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第

7、三个量就可以推算出来。,93 切应力互等定理与剪切胡克定律,25,实验,变形几何方面物理关系方面静力学方面,假设,应力公式,研究方法：,强度条件,94 圆轴扭转时横截面上的应力,26,等直圆杆扭转实验观察,94 圆轴扭转时横截面上的应力,一、扭转切应力的一般公式,27,1.圆周线变形后其形状、大小、间距保持不变。2.轴向无伸缩；3.纵向线变成斜直线，但仍为平行线。,平面假设：横截面变形后仍为形状、大小、间距不变的平 面；只是绕轴线发生了相对转动。,94 圆轴扭转时横截面上的应力,28,一、等直圆杆扭转时横截面上的应力,1.变形几何关系,94 圆轴扭转时横截面上的应力,取楔形体O1O2ABCD

8、为研究对象,微段扭转变形 dj,29,一、等直圆杆扭转时横截面上的应力,1.变形几何关系,扭转角沿长度方向变化率。,94 圆轴扭转时横截面上的应力,30,2.物理关系,虎克定律：,94 圆轴扭转时横截面上的应力,31,3.静力学关系：,令,代入物理关系式 得：,94 圆轴扭转时横截面上的应力,32,横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式。,4.公式讨论：仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆受扭。,式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。,94 圆轴扭转时横截面上的应力,33,单位：mm4，m4。,尽管由实心圆截面

9、杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。,D,d,O,94 圆轴扭转时横截面上的应力,34,Wp 抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。,二、最大扭转切应力,94 圆轴扭转时横截面上的应力,36,第九章 扭 转,9-1 引言 9-2 动力传递与扭矩 9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律 9-4 圆轴扭转横截面上的应力 9-5 极惯性矩与抗扭截面系数 9-6 圆轴扭转破坏与强度条件 9-7 圆轴扭转变形与刚度条件*9-8 非圆截面轴扭转简介,一、实心圆截面：,95 极惯性矩与抗扭截面系数,95 极惯性矩与抗扭截面系数,极惯性矩：,抗扭截面系数,38,二、空心圆截面：

10、,极惯性矩：,抗扭截面系数,95 极惯性矩与抗扭截面系数,注意：对于空心圆截面,95 极惯性矩与抗扭截面系数,一、实心圆截面：,二、空心圆截面：,40,三、薄壁圆截面：,极惯性矩：,抗扭截面系数,可用平均半径R0代替,95 极惯性矩与抗扭截面系数,例题9-2 AB段为实心，直径d=20mmBC段空心，内外径di=15，do=25mm承受的扭矩分别为MA=MB=100N.m,MC=200N.m，求最大扭转切应力。,解：1、求转矩,2、求最大扭转切应力,T1=MA=100N.m,T2=MC=200N.m，,实心圆截面：,空心圆截面：,小结,95 极惯性矩与抗扭截面系数,43,一、扭转失效与扭转极限

11、应力,96 圆轴扭转破坏与强度条件,扭转屈服应力：试样扭转屈服时横截面上的最大切应力。扭转强度极限：试样扭转断裂时横截面上的最大切应力。扭转屈服应力和扭转强度极限统称为扭转极限应力，用u表示。,44,二、轴的强度条件,强度条件：,对于等截面圆轴：,(称为许用切应力。),强度计算：,校核强度：,设计截面尺寸：,计算许可载荷：,96 圆轴扭转破坏与强度条件,45,应力分布,T,t,max,t,max,t,max,T,（实心截面）,（空心截面）,工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。,96 圆轴扭转破坏与强度条件,三、圆轴合理截面与减缓应力集中,强度条件：,96 圆

12、轴扭转破坏与强度条件,三、圆轴合理截面与减缓应力集中,强度条件：,96 圆轴扭转破坏与强度条件,T1=150NmT2=100Nm,解：,例题9-3：已知：MA=150Nm，MB=50Nm,MC=100Nm,=90MPa校验轴的强度。,都小于=90MPa，满足强度条件。,解：,例题9-4：某传动轴，T=1500Nm,=50MPa按照空心/实心两种方案确定横截面尺寸，a=0.9，并比较重量,1、实心,2、空心,横截面（空心/实心）之比=0.395,3、质量比。材料相同质量比等于体积比 长度相同，因此等于横截面之比,50,97 圆轴扭转时的变形 刚度条件,一、扭转时的变形,由公式9-7：,已知：长为

13、 l一段杆两截面间相对扭转角 为,GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。,T为常数,97 圆轴扭转时的变形 刚度条件,51,二、刚度条件,或,或,j 称为许用单位长度扭转角，一般记做。,单位长度扭转角（扭转角的变化率）：,因此,97 圆轴扭转时的变形 刚度条件,52,刚度计算的三方面：,校核刚度：,设计截面尺寸：,计算许可载荷：,97 圆轴扭转时的变形 刚度条件,解：,例题9-5：已知：MA=180Nm,MB=320Nm,MC=140Nm,Ip=3.0*105mm4,l=2m,G=80GPa,=0.5oC/m,求总扭转角。,T1=180NmT2=-140nm,总扭转角,解：,

14、例题9-6：GIp已知，求两端的支反力偶矩,T1=-MAT2=MB,总扭转角,属于超静定问题,-Maa+MBb=0,55,98 矩形截面杆扭转理论简介,矩形截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。等直圆杆扭转时的应力、变形公式不适用。弹性力学方法求解。,98 矩形截面杆扭转理论简介,56,98 矩形截面杆扭转理论简介,57,P187表91可查、。,矩形杆横截面上的切应力:,单位长度的扭转角：,最大切应力：,98 矩形截面杆扭转理论简介,58,例 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h=100 mm，b=50mm，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶 T=4000Nm 的 作用，钢的

15、G=80GPa，=100M Pa，j=1/m，试校核 此杆的强度和刚度。,解：查表求、,校核强度,98 矩形截面杆扭转理论简介,59,校核刚度,综上,此杆满足强度和刚度要求。,98 矩形截面杆扭转理论简介,60,本章作业,92(d)，98,61,例1已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。,解：计算外力偶矩,92 动力传递与扭矩,62,求扭矩（扭矩按正方向设）,92 动力传递与扭矩,63,BC段为危险截面。,绘制扭矩图,kNm,92 动力传递与扭矩,64,6kNm,B,A,C,D,E,例

16、2 绘制扭矩图。,92 动力传递与扭矩,65,例1 已知：d=50mm，M=1kNm，G=82GPa，A=d/4。求：A，A，max。,解：,95 极惯性矩与抗扭截面系数,66,例2 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用切应力=30M Pa,试校核其强度。,T,M,解：求扭矩，作扭矩图,计算并校核切应力强度,此轴满足强度要求。,x,95 极惯性矩与抗扭截面系数,67,例3 已知：n=100r/min，P=10马力，=20MPa，试选择实心轴直径d和内外径比值为1/2的空心轴外径 d2。,解：,d2 d1,95 极惯性矩与抗扭截面系数,68,例4已知：钢质实心轴和铝质空

17、心轴（内外径比=0.6），横截面面积相同，钢=80MPa，铝=50MPa。若仅从强度考虑，哪一根轴能承受较大的扭矩？,解：钢质轴直径为d，铝质轴外径为D，由两轴横截面面积相同得：,钢质轴承受的扭矩：,铝质轴承受的扭矩：,所以：铝质轴承受的扭矩较大。,95 极惯性矩与抗扭截面系数,69,例1长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，G=80GPa，许用切应力=30MPa，试设计杆的外径；若j=2/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。,解：设计杆的外径,97 圆轴扭转时的变形 刚度条件,70,40Nm,x,T,代入数值得：,D 0.0226m。

18、,由扭转刚度条件校核刚度,97 圆轴扭转时的变形 刚度条件,71,40Nm,x,T,右端面转角为：,97 圆轴扭转时的变形 刚度条件,72,例2 某传动轴设计要求转速n=500 r/min，输入功率P1=500 马力，输出功率分别 P2=200马力及 P3=300马力，已知：G=80GPa，=70M Pa，j=1/m，试确定：AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2？若全轴选同一直径，应为多少？主动轮与从动轮如何安排合理？,解：（1）求外力偶矩，作扭矩图,T,x,7.024,4.214,(kNm),97 圆轴扭转时的变形 刚度条件,73,（2）按强度条件设计轴的直径,97 圆轴扭转时的变形 刚

19、度条件,74,综上：,（3）按刚度条件设计轴的直径,97 圆轴扭转时的变形 刚度条件,75,（5）轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应该换位。,（4）全轴选同一直径时,换位后,轴的扭矩如图所示。,此时,轴的最大直径才为 75mm。,97 圆轴扭转时的变形 刚度条件,76,例3 已知：M1=1.8kNm，M2=1.2kNm，G=80GPa，d1=75mm，d2=50mm，求：max，max。,解：作扭矩图（下图）,97 圆轴扭转时的变形 刚度条件,77,97 圆轴扭转时的变形 刚度条件,78,习题：已知：钻杆外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=10马力，转速n=180rpm，钻杆入土深度L=4m，G=80GPa，=40MPa。求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩；（2）作扭矩图并进行强度校核；（3）AB两截面的相对扭转角。,解：（1）求阻力矩,（2）作扭矩图并进行强度校核,A,B,97 圆轴扭转时的变形 刚度条件,79,（2）作扭矩图并进行强度校核,（3）AB两截面的相对扭转角,97 圆轴扭转时的变形 刚度条件,