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1、第六节 差分方程,一、差分的概念与性质,二 差分方程的概念,三 一阶常系数线性差分方程,一、差分的概念与性质,一般地，在连续变化的时间的范围内，变量,关于时间,的变化率是用,来刻画的；,对离散型的变量,我们常用在,规定时间区间上的差商,来刻画变量,的变化率.如果取,，则,可以近似表示变量,的变化率.由此我们给出差分的定义.,定义1,设函数,，称改变量,为函数,的差分，也称为函数,的一阶差分，记为,，即,或,一阶差分的差分,称为二阶差分，即,类似地可定义三节差分，四阶差分，等等.,一般地，函数,的,阶差分的差分称为,阶差分，记为,，即,二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分.,例1 设,，求,，,，
2、,解,例2 设,求,解 设,，则,.,差分满足以下性质：,（2）,（3）,（4）,（1）,例3 求,解 由差分的运算性质，有,.,的差分.,二 差分方程的概念,定义2 含有未知函数,的差分的方程称为差分方程.,或,差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶,差分方程的一般形式：,定义3 满足差分方程的函数称为该差分方程的解.,例如，对于差分方程,，将,代入方程有,故,是该方程的解，易见对任意的常数,都是差分方程,的解.,如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好,等于方程的阶数，则称这个解是差分方程的通解.,定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均,为一次，则
3、称该差分方程为线性差分方程.其一般形式为,其特点是,都是一阶的.,三 一阶常系数线性差分方程,一阶常系数差分方程的一般方程形式为,其中,为非零常数，,为已知函数.如果,则方程变为,称为一阶常系数线性齐次差分方程，相应地，,时方程,一阶常系数线性非齐次差分方程.,1一阶常系数线性齐次差分方程的通解,已知，将,代入方程,中，得,则,为方程的解.容易验证，对任意常数,都是方程的解，故方程的通解为,一阶常系数线性齐次差分方程的通解可用迭代法求得.,设,例4 求差分方程,的通解.,解 利用公式得，题设方程的通解为,2一阶常系数线性非齐次差分方程的通解,为齐次方程的通解，,为非齐次方程的一个,为非齐次方程
4、的通解.,，及,将这两式相加得,，即,为非齐次方程的通解.,定理 设,特解，则,证明 由题设，有,（1）,为非零常数,，由,，可按如下迭代法求得特解,给定,齐次方程的通解为,于是方程通解为,时，,当,其中，,为任意常数，且当,时，,为任意常数,例5 求差分方程,的通解.,，故原方程的通解为,解 由于,（2）,（,为非零常数且,）.,时，设,为非齐次方程的特解，其中,为待定系数.将其代入方程,得,解得,，于是，所求特解为,所以,时，方程的通解为,当,当,时，设,为方程的特解，代入方程得,所以，当,时，方程的通解为,例7 求差分方程,在初始条件,时的特解.,利用公式，所求通解为,将初始条件,代入上式，得,故所求题设方程的特解为,解 这里,
