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1、1,1.2 解的存在惟一性,对于给定的微分方程，它的通解一般有无限多个，而给定初始条件后，其解有时惟一，有时不惟一.,给定初始条件的微分方程解的存在惟一性?(一)它是数值解和定性分析的前提;(二)若实际问题中建立的方程模型的解 不是存在且惟一的，该模型就是一个坏模型.,2,例1:初值问题 有解:,.它的存在区间为,存在区间为,初值问题 的解:,3,例3:初始值问题:,有无穷多解,存在区间为:,4,例子和思路例 4:证明初值问题,的解存在且惟一。,满足,5,取,6,惟一性证明:设有两个解,这就证明了惟一性。,7,1.2.2 存在惟一性定理及其证明,上连续，如果有常数 L0,使得对于所有的,都有:
2、,考虑微分方程:,Lipschitz 条件:,(1.2.3),8,L 称为 Lipschitz 常数。,9,证明：,（）将初值问题解的存在惟一性化为 积分方程解的存在惟一性,思路：,10,（）构造积分方程迭代函数序列.,（）证明该序列的极限是积分方程的解,（）证明惟一性,详细证明：,（）证明该迭代序列收敛,11,（2）构造 Picard 迭代数列,这样就得到一个连续函数列,12,（3)Picard 序列的收敛性,则,13,证明：考虑函数项级数,估计级数通项:,引理 1.2,上一致收敛。,函数列,14,其中第二个不等式由Lipschitz条件可以得到，,15,于是，由数学归纳法得，对于所有自然数
3、k，有,由Weiestrass判别法知，,设:,16,（4）Picard 迭代数列的极限函数就是,积分方程的连续解。,证明：由 Lipschitz 条件,17,即,18,（5）解的惟一性,证明：,则,引理 1.4,令,19,20,注1:,定理中,的几何意义:,故取,.,注2:,函数,的连续性保证解的存在性,Lipschitz条件保证解的惟一性,注:,定理的结论只是在局部范围内给出解的,存在惟一性可反复使用该定理，,使解的范围延拓到最大的区间,在,解有可能跑到,之外,21,的解,证明：取,在矩形区域：,连续，且它关于y有连续的偏导数。,例证明初始值问题：,计算,22,故由解得存在唯一性定理可知，初始值问题的,23,的解存在唯一的区间,例讨论初始值问题,24,显然,使得,最大，且,取,则由定理得解的存在惟一区间为：,再使用依次存在惟一性定理：,讨论新的初始值问题：,25,此时,上存在，事实上，初值问题的解是：,存在区间为：,26,27,内容小结,微分方程解的存在惟一性,P.22 2，3（1，4）,作 业,迭代法构造解的思想,
