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1、1,第二章 一阶微分方程,微分方程课程的一个主要问题是求解，即把微分方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来，但对一般的微分方程是无法求解的，,的解，但是对某些特殊类型的方程，我们可设法转化为已解决的问题进行求解。,2,2.1 线性方程2.2 变量可分离方程2.3 全微分方程2.4 变量替换法,2.5 一阶隐式方程2.6 近似解法2.7 一阶微分方程的应用2.8 习题课,本章的主要内容,3,一、线性齐次方程,线性齐次方程:,求解思想：,2.1 线性方程,一阶线性微分方程,将 进行变形，将方程左端整理成某一个函数的导数，再进行积分求解。,4,求线性齐次方程,的通解。,方程的通解为,5,一般地，对
2、方程,即,整理得通解为,6,二、线性非齐次方程,1.积分因子法,给方程两边乘以函数,两种解法,变成一个函数的导数，,使左边,整理得：,积分得通解：,称为方程的积分因子。,7,2.常数变易法,思想：将一个对应齐次方程的通解中的常数变为函数，代入原方程后确定出该方程的通解。,即令,先求 对应的齐次方程的通解为：,8,线性非齐次方程,设想,待定函数,9,一阶线性非齐次微分方程的通解：,常数变易法：,齐次方程通解中的常数变易为,待定函数。,10,非齐次方程的一个特解,对应齐次方程通解,一阶线性方程解的结构,高阶线性方程解的结构，,高阶非齐次线性方程的常数变易法.,11,线性微分方程解的性质:,1.齐次
3、方程的解或者恒为零，或恒不为零。,2.齐次方程任何解的线性组合仍是它的解。,3.齐次方程的任一解与非齐次方程的任一解之和,仍为非齐次方程的解。,4.非齐次方程的两解之差为对应齐次方程的解。,5.非齐次方程的任一解与对应齐次方程的齐次方程,的通解之和是非齐次方程的通解。,12,解,练习,13,练习,解初值问题:,解,改写方程：,特解:,14,解,典型的一阶非齐次线性方程.,分析,练习,15,既不是线性方程,也不能分离变量.,改写方程：,以x为未知函数,的一阶非齐次线性方程.,分析,y 为自变量,解方程,练习,16,此外,y=1 也是原方程的解.,解,解方程,练习,17,解微分方程,解,原方程变形
4、,一阶线性方程,原方程通解:,练习,18,分析,这不是典型类型，,解,线性方程,练习,19,解,积分方程,平行于 y 轴的动直线被曲线 y=f(x),阴影部分的面积,截下的线段PQ之长数值上等于,求曲线 y=f(x).,所求曲线方程,练习,20,求微分方程,的一个解,所围平面图形绕 x 轴,旋转体体积最小.,解,练习,改写微分方程,21,数，求微分方程,的,周期解。,解：齐次方程,的通解为,方程,的通解为,例：2.1.3,是以,为周期的周期函数，是正常,设,22,整理得,将c 的表达式代入通解,再一次利用f(x)的周期性得:,23,线性非齐次方程初值解公式在理论上的意义:,我们可以利用它来研究
5、解的性质，对解进行“估值”。,于是,24,设,于是，对,有,原题得证。,25,三、Bernoulli方程,伯努利方程的标准形式:,求出此方程通解后,换回原变量即得伯努利方程的通解.,(线性方程),26,例2.1.4 求初值问题,的解。,解：方程两边同乘以2y 后得,令,代入得,通解为,将,代入得,代入初值条件得,27,解,伯努利方程,作变换,原方程的通解:,练习,28,解,y 视为自变量,两边除以,的伯努利方程.,练习,29,解:设t 时刻湖泊中所含盐酸的数量为,四、线性微分方程的应用举例,30,因此有,该方程有积分因子,两边同乘以,后,整理得,积分得?,31,利用初始条件得,故,32,(雅各布第一 伯努利),书中给出的伯努利数在很多地方有用,而伯努利定理,Bernoulli(1654 1705),瑞士数学家,数学家.,和极坐标下的曲率半径公式,1695年,猜度术,则是大数定律的最早形式.,提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多位,1694年他首次给出了直角坐标,1713年出版了他的巨著,这是组合数学与概率论史上的一件大事,此外,他对双纽线、,悬链线和对数螺线都有深入的研究.,33,P.40 1（2，3，6，7，8，9，13，15）2（2，3），5，6,作 业,
