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1、1,多元函数全微分的逆运算。,可分离变量、,解,将方程写成,左端是全微分式,方程变成,通解,齐次方程。,2.3 全微分方程,2,1.全微分方程的定义,若,则有,这是一大类可求解的微分方程.,3,则称,为全微分方程。,4,例如,下列方程都是全微分方程:,因为函数,的全微分就分别是这三个方程的左端,他们的解分别是,5,但并不是所有的方程都能方便地找到对应的,的函数,或者这样的,就不存在.,所以我们有三个问题需要解决:,(1)方程是否就是全微分方程;,(2)若方程是全微分方程,怎样求它的解;,(3)若方程不是全微分方程,有无可能将它转化为一个全微分方程来求解?,6,是全微分方程的充要条件为:,（2.
2、3.3),证明：一.先证必要性,2.方程为全微分方程的充要条件,设,7,故有,由于M(x,y)和N(x,y)有连续一阶偏导数,从而有,8,二.再证充分性,取,待定，对上式关于y求偏导数得,在矩形R中取一点,9,令,则找到一个满足,的函数,这种方法称为线积分法.,10,3.全微分方程的积分,当一个方程是全微分方程时,我们有三种解法.,(1)线积分法:,或,11,故通解为,所以方程为全微分方程。,12,(2)偏积分法,的通解.,例：求方程,求,13,而,即,从而,即,14,解:偏积分法,原方程的通解:,练习,15,所以方程为全微分方程。,由于,(3)凑微分法,16,方程的通解为：,利用条件,得,最
3、后得所求初值问题得解为：,根据二元函数微分的经验,原方程可写为,17,通解：,解:分组凑全微分法,练习,18,解,是全微分方程,将左端重新组合,原方程的通解：,练习,19,一阶线性方程,练习,20,（1）偏积分法,原方程的通解:,21,（2）凑全微分法,原方程的通解:,22,若一个方程不是全微分方程，,我们可以用积分因子法将其变为全微分方程。,4.积分因子,解：,23,由于,利用凑微分的方法可得通解为:,是全微分方程。则,24,观察法,凭观察凑微分得到,常见的全微分表达式,可选用积分因子,25,例:验证,是方程,的积分因子,并求它的通解.,由于,26,例:验证,是方程,的一个积分因子，并求其通
4、解。,解：对方程有,通解为:,27,求方程,解,不是全微分方程.,将方程两端重新组合,观察法,积分因子,原方程,练习,28,解,将方程两端重新组合,求方程,不是全微分方程.,积分因子,原方程的通解:,练习,29,(1)积分因子是否一定存在?,(2)如何求积分因子?,这两个问题是十分困难的问题,一般来说无法,30,定理2.2,微分方程,31,即,证明:,仅证第一部分.不妨设,上式就是方程的一个积分因子,故定理得证.,32,例：求微分方程,的通解。,解：由于,故它不是全微分方程。,利用积分因子的表达式,得,33,这是一个全微分方程。分组凑微分,得方程通解:,34,注:积分因子是求解微分方程的一个重
5、要方法,绝大多数方程的求解都可以通过这种方法来解决.但是求一个微分方程的积分因子比较困难,需要灵活的方法和技巧.,35,熟练记住下面的几个方程和其对应的积分因子,例如:当一个微分方程中出现,时,函数,都有可能成为其积分因子.,36,例.求微分方程,的通解.,解:因为,所以方程不是全微分方程.将方程的左端重新分组得:,方程的通解为,37,设微分方程左端可以分为两组,即,其中第一组和第二组各有积分因子,和,使得,是第一组的积分因子,是第二组的积分因子,38,解：将方程左端分组,前一组有积分因子,和通积分,后一组有积分因子,和通积分,如果能选取的,和,使得,39,从而得原方程的积分因子为,用它乘原方程得,所以方程的通解为:,我们要寻找可微函数,使,只要取,40,P.62 3（1,3）,作 业,2（1,3）,4,6（3,4）,
