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1、4.3 线性微分方程组的基本理论,非齐次线性微分方程组,一、线性齐次方程组解的结构,证明:,是齐次线性方程组的解.,线性相关及线性无关,设 为 上的函数向量,若有一组不全为零的数,?,例 证明,在任何区间I上都是线性相关的.,例 证明,在 上线性无关.,线性无关.,Th4.6 齐次线性方程组的解组,在,线性相关的充要条件是它们的朗斯基行列式,由 的任意性有,则 线性相关，,必要性.若,取,有,考虑,Th4.6 齐次线性方程组的解组,在,线性相关,由解的存在唯一性定理知,所以齐解组 线性相关.,-刘维尔公式,Th4.8 线性齐次微分方程组一定存在,个线性无关解.,的解,的n个线性无关解,则,Th
2、4.9（通解结构定理）设 是方程组,证明：（1）由解的叠加原理知,（1）是方程组 的通解.,是方程组 的解,故 彼此独立,所以 是通解.,考虑,叠加原理!,解的唯一性!,证明 设 是 任一解,并满足,推论4.3 方程组 的线性无关解的最大个数为n.,基本解组:称方程组 的n个线性无关解,为一个基本解组.,基解矩阵:由基本解组组成的矩阵为基解矩阵.,Th4.10 方程组 一定存在一个基解矩阵,Th4.11 方程组 的一个解矩阵 为,基解矩阵,在 上某点 有,即,推论4.4 若 是 在 上的基解矩阵,方程组在区间 上的基解矩阵.,是非奇异 常数矩阵,则 也是,推论4.5 若 是 两个基解矩阵,则存
3、在非奇异常数矩阵C,使得,即有,令,例 验证,是方程组,的基本解矩阵,并写出其通解.,是方程组的一个解.,是解矩阵,通解为:,是方程组的基本解组.,试证明以,为基本解组的齐次线性微分,例 设,在,上线性无关,方程组具有下列形式,证明:设所求的微分方程组为,代入微分方程组,例 已知线性齐次微分方程组的两组解为,，试求该微分方程组,解:线性无关,所求方程组为,二、非齐次线性微分方程组解的结构,Th4.11(通解结构定理),设 是方程组齐次方程组的一个基解矩阵,是非齐次方程组的某个解,非齐次方程组的通解?,因为,齐次方程组的通解,是可逆的,常数变易法求解非齐次方程组的特解.,TH4.12 若 是齐次方程组的基解矩阵,则,（1）向量函数,是非齐次方程组的解,并满足,(2)非齐次方程组的通解是,-非齐次方程组的常数变易公式.,方程组的特解:,的逆矩阵,例 求方程组,的通解.,原方程的通解:,作业:P199 1，4，6，8(1)，9,
