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,第一节 常数项级数的概念与性质,一、常数项级数的概念,二、常数项级数的性质,一、常数项级数的概念,1、定义,给定一个无穷数列，则由这个数列构成的表达式,称为常数项无穷级数，简称级数，记作，即,其中第 项 称为级数的一般项。,可从极限思想出发来理解无穷多个数相加的含义。,2、级数的收敛和发散,如果部分和数列的极限不存在，则称级数发散。,解：首先考虑 的情形，此时,此时级数收敛，且,如果，则，故级数发散。,如果，,当 时,此时级数发散。,当 时,当 时，Sn的极限不存在，故级数发散。,例2 判断级数 的敛散性。,解：由于,因此部分和,例3 判断级数 的敛散性。,解：级数的部分和为,所以此级数发散。,二、常数项级数的性质,性质3 在级数中去掉或增加有限项，不改变其敛散性。,性质4 在收敛级数的项中任意加括号后所得级数仍收敛，且与原级数的和相同。,注意：,加括号后的级数收敛，原级数不一定收敛,如级数 发散，,但加括号后的级数,收敛；不过，若加括号后的级数发散，则原级数一定发散。,性质5（级数收敛的必要条件）,如果级数 收敛，则,一般项的极限为零仅是级数收敛的必要但非充分条件。可考察级数,例4 判断级数 的敛散性。,解：因为,所以级数 发散。,
