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1、3 插值法与曲线拟合,3.1 实验数据统计处理 3.2 插值法（Lagrange插值法）3.3 曲线拟合（最小二乘法）,平行试验数据处理，误差分析。,根据实验测定的离散数据，求未测的某点数据。,根据实验测定的离散数据，拟合曲线，分析数据规律，求函数表达式。,3.1 实验数据统计处理,系统误差偶然误差过失误差,3.1.1误差,3.1.2 数据的统计分析,（4）剔出错误数据,（5）用标准形式表示统计处理结果,（1）算术平均值,（2）标准偏差,（3）平均标准偏差,返回（1）重算,函数常被用来描述客观事物变化的内在规律数量关系，如宇宙中天体的运行，地球上某地区平均气温的变化等等，但在生产和科研实践中碰
2、到的大量的函数中，不仅仅是用解析表达式表示的函数，还经常用数表和图形来表示函数，其中函数的数表形式在实际问题中应用广泛，主要原因是有相当一部分函数是通过实验或观测得到的一些数据，这些数据只是某些离散点 xi 上的值（包括函数值f(xi)，导数值 f(xi)等,i=1,2,n)，虽然其函数关系是客观存在的，但却不知道具体的解析表达式，因此不便于分析研究这类数表函数的性质，也不能直接得出其它未列出点的函数值，我们希望能对这样的函数用比较简单的表达式近似地给出整体的描述。,3.2 插值法（Interpolation）,3.2.1 概述,另一方面，有些函数，虽然有解析表达式，但因其过于复杂，不便于计算
3、和分析，同样希望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。如在积分 中，当f(x)很复杂，要计算积分 I 是很困难的，构造近似函数使积分容易计算，并且使之离散化能上机计算求出积分I，都要用到插值逼近。,解决上述问题的方法有两类：一类是对于一组离散点(xi,f(xi)(i=1,2,n)，选定一个便于计算的函数形式(x)，如多项式，分段线性函数，有理式，三角函数等，要求(x)通过点(xi)=f(xi)(i=1,2,n),由此确定函数(x)作为f(x)的近似。这就是插值法。这里的 g(x)称为f(x)的插值函数。最常用的插值函数是?,另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求
4、近似函数过已知样点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。这类方法称为曲线（数据）拟合法，将在下一节介绍。,g(x)f(x),多项式,f(x),已知：一系列离散的（互不相同的）点xi，yi（i=1，2，n）求：给定点 x 对应的函数值 y 或近似函数表达式。,思路,构造函数 y=p(x),代数多项式：,算法,拉格朗日（Lagrange）法,两点插值（线性插值）一元三点插值（抛物线插值）一元多点插值（插值公式的一般形式）分段插值,已知点满足该函数,其他：牛顿（Newton）插值法、Hermite插值法、样条函数插值法等。,归纳一下：,3.2.2 线性插值,已知：两点(x1,y1）、(x2,
5、y2）求：两点间任意 x 对应的 y 值。,插值函数：y=p1(x),近似直线,实际曲线,理论函数：y=f(x),直线方程：,（插值多项式）,特点：,3.2.3 抛物线插值,已知：三点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）求：其间任意 x 对应的 y 值,插值函数：y=p2(x),近似抛物线,实际曲线,理论函数：y=f(x),插值基函数：,插值多项式,3.2.4 Lagrange插值的一般形式,已知：n点（x1，y1）、（x2，y2）（xn，yn）求：其间任意 x 对应的 y 值,（1）构造插值基函数,（2）插值多项式,3.2.5 分段插值（分段抛物线插值）,各区段函数规律明显不同,适
6、用条件,处理方法,插值公式,分段基点,分段,3.3 曲线拟合,插值法的不足,曲线拟合,对逼近函数P(x)不必要求过给定的点，而用一条近似的曲线来接近这些测量数据点。,问题：在大量的实验数据(xi,yi)(i=1,2,n)中寻找其函数关系y=f(x)的近似函数P(x)，是在实践中常遇到的。,3.3.1 概述,求经验公式,求模型参数,已知：试验数据和相应函数关系（或称：数学模型）求：其中的参数值,已知：试验数据（xi，yi），i=1，2，n 求：函数关系式 y=f(x),3.3.2 求经验公式多项式拟合,拟合多项式,已知：n组试验数据（xi，yi），i=1，2，n 求：函数关系式 y=f(x),偏
7、差 Ri=,尽可能最小,尽可能最小,3.3.2.1 概述,尽可能最小,3.3.2.2 最小二乘技术,最小,多元函数的极值问题,=,(k=0,1,2,m),解多元线性方程组,m 的确定,略,3.3.2.3 多项式的次数（m）的确定,初设 m=1,为预先选定的一个足够小的正数,3.3.2.4 多项式拟合举例,例1 设在某材料的热膨胀系数试验中，测得一批数据如表3.1所示，希望用一简单公式表示这些数据的关系。,表3.1 热膨胀系数试验数据,解：由数据之间的关系和我们已知的材料热膨胀规律可知，这些点大体上分布在一条直线上，因此可用线性式表示为：,如果我们将上述六组数据代入上式，可得：,显然，上述方程组
8、中只有两个未知参数，任取两个方程即可解出a,b。其几何意义就是任选两点，连成一线，故该法又称“选点法”。然而，由于试验误差的存在，这些点并不会在同一条直线上，因此随着选点不同，得到的a,b的值也有差异，如：,选1、2点得：,选4、5点得：,解之得：,解之得：,造成上述不同结果的原因是当试验观测点数大于待定参数的个数时，代入所有点数据将出现一个矛盾方程组，选点法并未充分利用所有试验数据，故结果不可靠；而用曲线拟合法，则可避免该问题。,仍设试验数据满足直线关系：,用前面介绍的最小二乘法进行曲线拟合，此处是最简单的一元线性拟合。,（1）用最小二乘法（偏导）分析或直接用前面介绍的公式写出最小二乘法得到
9、的线性方程组的系数表达式：,（2）代入试验数据得：,（3）进而得到线性方程组：,解之得：,说明：假如我们事前并不能从试验数据中看出其近似满足线性关系，则可用一般的多项式拟合程序进行拟合（即：设定一定的误差限，先设多项式次数m=1，进行拟合，得到一线性表达式，判断误差，若满足误差要求，则停止，否则m=m+1，重新拟合得二次多项式，再判误差，直到满足误差要求为止）。对该例，在误差要求不是太高的情况下，经m=1线性拟合即可达到要求，得到线性表达式。如果误差限非常低，则将拟合出高次，但可以发现，该例的高次系数非常非常小，相比a,b值，完全可忽略。,求经验公式,求模型参数,已知：试验数据和相应函数关系（
10、或称：数学模型）求：其中的参数值,已知：试验数据（xi，yi），i=0，1，2，n 求：函数关系式y=f(x),曲 线 拟 合,3.3.3 模型参数的确定,已知：实验数据及相应的函数关系（或称数学模型），含未知参数。求：其中的未知参数值。,3.3.3.1 线性模型的参数确定,函数关系通式,为方便起见，可令x01使上式变为：,（多元线性回归）,利用最小二乘技术求出模型中的各待定参数aj（j=0,1,2,m）,例如：已知n组实验数据：x1i、x2 i、xmi yi（i=1,2,n），且函数关系式可用式（6.33）表示，求模型中各参数值。,1、计算偏差的平方和,2、由最小二乘技术的限制条件,可得到一
11、个由m+1个含有m+1个未知数（aj j=0,1,2,m）的线性方程构成的多元线性方程组（见下页）,m+1元线性方程组,具体展开为：,3、解线性方程组（全主元消去法）即得：要求的已知线性模型中的未知参数。,3.3.3.2 简单非线性模型的参数确定,简单非线性模型能通过简单的数学变换（变量代换等）转化为线性模型的非线性模型。,参数确定的关键：就在于变量代换，即：通过适当的变量代换，使之转化为我们熟悉的线性模型，然后就可运用线性模型的求解方法解之。,例1.用非线性经验公式 拟合实验数据xi、yi（i=1,2,n），求模型参数a、b。,令：,则有：,解：公式两边同时取对数得：,例2.已知一活化极化体
12、系的阳极极化过程符合如下规律：现通过实验测得其n组阳极极化数据为：Ei、iai（i=1,2,n），求该体系腐蚀速度icor和Tafel斜率ba。,则式（6.36）变为：,作变量代换：,3.3.3.3 一般非线性模型的参数确定,例1活化极化控制的腐蚀体系的基本动力学方程式,例2充电曲线方程式,迭代的最小二乘技术（以充电曲线方程式的拟合为例）,a)数学变换,移项变形,两边求对数,变量代换,所以：,b)近似处理变超越方程为线性方程,c)用最小二乘法拟合线性模型，求出其中的参数u、v、z,迭代的最小二乘技术高斯牛顿曲线拟合法。,一般非线性模型的参数确定两种最常用的拟合方法,自学,作 业,1、编制最小二乘曲线拟合法（多项式拟合）的通用程序，上机调试，并对以下试验数据进行高次拟合（误差限自定）。,表3.2 低碳钢屈服点与晶粒直径试验数据（说明：将 d 换算成 后进行拟合）？,表3.3 某材料热膨胀系数试验数据,2、编制最小二乘多元线性回归的通用程序，上机调试，并对以下试验数据进行回归分析（误差限自定）。,3、分别编制Lagrange分段抛物线插值和Lagrange一般多点插值的通用程序。已知CO2热容试验数据如表3.4所示，试用上述程序求出在1708K时之热容。,表3.4 CO2热容试验数据,
