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1、机器人工学,第二章 机器人运动学,一、引言,机器人的操作机可用一个开环关节链来建模，此链由数个刚体（杆件）被驱动器驱动的转动或移动关节串连而成。开链的一端固接在基座上，另一端是自由的，安装着工具（未端执行器），用的操纵物体，或完成装配作业。关节的相对运动导致杆体运动，使手定位于所需的方位上。在很多机器人使用中，人们感兴趣的是操作机未端执行器相对于固定参考坐标系的空间描述。,机器人运动学的两个基本问题,第一个常称为运动学的正问题（直接问题）第二个常称为运动学逆问题（解臂形问题）,1、运动学的正问题,对一给定的操作机，已知杆件几何参数和关节角矢量其中n是自由度数，求操作机未端执行器相对参考坐标的位
2、置和姿态。,运动学逆问题,已知操作机杆件的几何参数，给定操作机未端执行器相对参考坐标系的期望位置和姿态（位态），操作机能否使其未端执行器达到这个预期的位姿？如能达到，那么操作机有几种不同形态可满足同样条件？,两种关系的简单方框图,杆件的几何参数,运动学正问题,操作机未端执行器位态,关节角,关节角,运动学逆问题,杆件的几何参数,二、坐标系与坐标变换,(一)、转动矩阵 机器人的执行机构属于空间机构，因而可以采用空间坐标变换基本原理及坐标变换的矩阵解析方法建立描述各构件（坐标系）之间相对位置和姿态的矩阵方程。,1、刚体位置和方向的矩阵表示,设有一刚体如图所示，O为刚体上任意一点，oxyz为固定坐标系
3、，刚体在O系中的坐标可用一个列矩阵表示,X,Y,Z,O,o,在刚体上建立一个坐标系OXYZ,刚体的方向可以由O系坐标轴的方向表示，令 代表x、y、z坐标轴方向的单位矢量,X,Y,Z,O,o,X,Y,Z,刚体在固定坐标系内的方向表示,每个单位矢量在O系上的分量为O系各坐标轴投影在O系上的方向余弦，于是刚体在固定坐标系内的方向 可用由三个矢量组合起 来的3阶矩阵C表示。,X,Y,Z,O,o,X,Y,Z,c=,二、转动矩阵的一般形式,设有两个共原点的右手坐标系和如图2-2，后一坐标系可认为是前一系绕定点O旋转而成的。,P点从j系变换到i系的坐标变换,若空间有一点P，该点在i系内的坐标为:在j系内的坐
4、标为:若以i系为参考坐标，根据投影关系，P点从j系变换到i系的坐标变换关系为：,一般形式的转动矩阵,这一关系可以用矩阵表示为,-(1),j坐标系绕i坐标系的某一轴转动的方向余弦矩阵,当两个坐标系无相对转动时,若取j系为参考系，则p点从i系到j系的坐标变换为,式中:,-(2),转动矩阵为正交阵,由于式：-,比较两式：,得:,故转动矩阵为正交阵,三、绕一个坐标旋转的转动矩阵,绕x,y,z坐标轴的旋转矩阵是最基本的转动矩阵，它们是一般转动矩阵的特例，故可直接由一般转动矩阵得到。先看绕x轴的旋转，如图oXj Yj Zj 系可认为是oXi Yi Zi系绕X轴旋转角而成。,绕X轴旋转轴角的转动矩阵,绕Y轴
5、旋转角后的转动矩阵,绕Z轴旋转角后的转动矩阵,转动矩阵的4个特点,（1）主对角线上有一个元素为1，其余均为转角d（）的余弦。（2）绕哪一根轴转动与元素1所在的行，列号对应。（3）元素1所在的行列，其它元素为0（4）以元素1所在行为准，至上而下，先出现的正弦为负，后出现的为正。,四、绕二个坐标轴旋转的旋转矩阵,设坐标系OXi Yi Zi 先绕Zi 轴旋转角形成坐标系OXm Ym Zm,再绕Xm 轴旋转角，形成坐标系OXj Yj Zj,绕二个坐标轴旋转的旋转矩阵,前一个旋转:,后一个旋转:,坐标系j向i进行坐标变换的矩阵,此式表明，运用转动矩阵的依次连乘，可进行坐标系的连续变化,此时的转动矩阵为:
6、,绕三个坐标轴旋转的旋转矩阵,次序是1绕Z轴转过角；2绕新的Xk轴转过角；3绕新的Yl轴转过角形成j坐标系,注意:,矩阵相乘一般是不可交换的，即A B B A。所以，旋转顺序不同，结果是不同的。右乘的次序说明连续绕新的坐标轴转动，往左乘的次序则表明绕固定参考坐标轴依次转动。,例试求表示绕ox轴转角，然后绕oz轴转角，再绕oy轴转角系的合成旋转矩阵。,解:由于是绕固定的坐标系的坐标轴转动，则应左乘相应的基本旋转矩阵：,如果转动的次序改为绕oy轴转角，然后绕oz轴转角，再绕ox轴转角,则表示这种转动的旋转矩阵为:,五、旋转矩阵的几何解释,一单位量（e）即代表了矢量（）的方向，单位矢量在坐标系中的方
7、向可用与其坐标轴（x,y,z）方向的夹角，即方向角来表示,矢量（）的方向余弦,单位矢量（e）对三个坐标轴的投影，即为矢量（）的方向余弦:(cos,cos,cos)或:是一个列矩阵。也可写成行矩阵:E=coscoscosT,例有转动坐标系ouvw和参考坐标系oxyz如图所示。令:和 分别为沿oxyz和ouvw系坐标轴的单位矢量.,X,Y,Z,O,U,P,V,W,假定空间某点P在ouvw坐标系中静止并固定，那么，点P可以用它在ouvw系和oxyz系中的坐标分量分别表示为:Puvw=(Pu,Pv,Pw)T和Pxyz=(Px,Py,Pz)T显然，这是Pxyz 的Puvw表示的是在不同坐标系中的同一点。
8、由矢量分量的定义，我们有:Pxyz=Puiu+Pvjv+Pwkw Pxyz=Pxix+Pyjy+Pzkz这里Pu，Pv，Pw，及Px,Py和Pz分别表示P点ox,oy,oz轴R ov,v,ow轴的分量，或P在各轴上的投影。),如选择固定在ouvw坐标系上的点p为（1，0，0）T即Puvw=iu,那么旋转矩阵的第一列就表示此点在oxyz坐标系中的坐标分量。类似地，若取点P(0,1,0)T 和（0，0，1）T，则可看出旋转矩阵的第二列和第三列分别表示ouvw坐标系的ov轴和ow轴单位矢量在oxyz坐标中的坐标分量。,旋转矩阵的性质 一:,旋转矩阵的每一列向量代表了用参考系坐标轴单位矢量表示的转动坐
9、标轴单位矢量，而每一行矢量代表了用ouvw系转动轴单位向量表示的参考系坐标轴单位矢量。,旋转矩阵的性质 二:,由于每一行或列代表一个单位矢量，故其模等于1。这是正交坐标系的一个基本性质。（此外，旋转矩阵的行列对右手坐标系为+1，而对左手坐标系为-1。）,旋转矩阵的性质 三:,由于每一行均为相互正交矢量之一，故不同的两行的内积（点乘）为零。同样地，不同的两列的内积也为零。,旋转矩阵的性质 四:,旋转矩阵的逆阵就是它的转置。R-1=RT 和 RRT=I3 其中I3是3*3单位矩阵,例将转动坐标系ouvw中的ou,ov和ow坐标轴绕ox轴转角，参考系的坐标在转动坐标系ouvw是如何表示。,解新坐标单
10、位矢量在它们自己的坐标系中iu=(1,0,0)T j=(0,1,0)T kw=(0,0,1)T,X,Y,Z,X,X,v,w,v1,w1,u,原系单位矢量在新系中就是:,ix=1iu+0jv+0kw=(1,0,0)Tjoy=0iu+cosdjv-sindkw=(0,cosd,-sind)T kz=0iu+sindjv+cosdkw=(0,sind,-cosd)T 应用性质1并把这些矢量看作旋转矩阵，Rx,d,矩阵即可建立如下，因为在转动坐标系中表示参考坐标系。,三、齐次坐标变换,1、齐次坐标 在三维空间位置矢量，P=（Px,Py,Pz）T 中引进了第四个坐标分量，使它变成:=（wpx,wpy,w
11、pz,w）T,这样，我们用齐次坐标表示了位置矢量，（这样，以符(即)表示把一个三维空间矢量写成齐次坐标的形式。),实际坐标和齐次坐标的关系,三维空间中的位置矢量:P=（Px,Py,Pz）T，在齐次坐标中用增广矢量（wpx,wpy,wpz,w）T表示。实际坐标和齐次坐标的关系如下：Px=wpx/w Py=wpy/w Pz=wpz/w,对于三维空间的位置矢量，齐次坐标表达并不是唯一的,例如：齐次坐标:P1=（w1px,w1py,w1pz,w1）T P2=（w2px,w2py,w2pz,w2）T表示的是同一位置矢量:P=（Px,Py,Pz）T。,2、齐次变换矩阵,齐次变换矩阵是4*4矩阵，它把一个以
12、齐次坐标表示的位置矢量由一个坐标系映射到另一个坐标系，可以把齐次变换矩阵看成是由四个子矩阵组成。,旋转矩阵 位置矢量=透视变换 比例,3、转动的齐次变换矩阵,若三维空间的位置矢量P表示齐次坐标即=（Px,Py,Pz，1）T。那么，利用变换矩阵的概念，对纯转动的动作,3*3旋转矩阵可扩展成4*4齐次变换矩阵，由此，前面的旋转矩阵用齐次变换矩阵表示。,基本齐次旋转矩阵,基本齐次平移矩阵,齐次变换矩阵的右上角3*1子矩阵具有使ouvw附体坐标系平移的作用。例如下列齐次变换矩阵M使Ouvw坐标系的原点平移到参考坐标系的（dx,dy,dz）点而保持坐标轴的平行。,局部和整体比例变化,齐次变换矩阵的主对角
13、线元素形成局部和整体比例变化。前三个对角元素形成局部扩大或比例变化，例如：,第四个对角元素产生整体比例变换,例如:,这里s0,实际矢量的坐标为:,齐次变换矩阵把在ouvw坐标系中用齐次坐标表示的矢量映射到oxyz参考坐标中,这就是说，当w=1时=,四,齐次变换矩阵的几何解释,当变换矩阵为单位矩阵时，即,说明杆件的附体坐标系与参考坐标系完全重合自左至右的列矢量（1 0 0 0）T（0 1 0 0）T 和(0010)T表示两坐标系的各对应xi(xj)轴，yi(yj)轴和zi(zj)轴。而最右边列矢量（0001）T表示两个坐标重合的原点Oi(Oj),例：当杆件的附体坐标系xj-yj-zj相对于参考坐
14、标系xi-yi-zi先绕zi轴转=90，再绕yi轴转=90，使xj轴与yi轴重合，yj轴与zi轴重合，如图所示。则:,xi zj,yi xj,zi yj,Yj,由于是绕固定参考转动。所以应左乘相应的齐次变矩阵，即:,实际上从这个矩阵中也可看出xj与yi轴重合，yj与zi轴重合，zj与xi轴重合。,如图所示，有一矢量P可写成列矩阵,当动坐标系xi-yi-zi向参考坐标系xi-yi-zi作齐次坐标变换时，可写成如下变换矩阵，有：,而坐标系xj-yj-zj的原点Oj在j坐标系是用（0001）T表示，所以j坐标系原点的位置向量在xi-yi-zi坐标系中应为:,当:,同样表示杆件动坐标系与参考坐标系完全
15、重合，齐次变换的第一、二、三列（1001）T，（0101）T，和（0011）T，表示对应轴xj,yj,zj上的单位矢量在i系中的坐标分量。,时,如果杆件动坐标系各轴上的单位矢量绕Zi轴转90绕yi轴转90再平移（4，-3，7）变换后：得,它表示变换后，杆件动坐标系xj-yj-zj各轴上单位矢量的顶点和坐标原点，在参考坐标系xi-yi-zi上的新坐标值。,齐次变换矩阵的逆,设:,则逆矩阵为：,式中：,齐次变换矩阵的规则,1、两坐标系最初相重合，因此齐次变换矩阵是4*4单位矩阵I42、若动坐标（j）绕（或沿）固定参考坐标系（i）的轴转动（或平移），则用相应的基本齐次旋转（或平移）矩阵左乘原有的齐次
16、变换矩阵。3、若动坐标系（j）绕（或沿）它自己的轴转动（或平移），则用相应的基本齐次旋转（或平移）矩阵右乘原有的齐次变换矩阵,例1两个点aj=(4,3,2)T 和bj=(6,2,4)T均沿ox轴平移+5个单位，oz轴移动-3个单位。利用合适的齐次变换矩阵决定两个点的新位置ai和bi。,解:,平移后的两点是ai=(9,3,-1)T和bi=(11,2,1)T,例若动坐标系先绕ox轴转角，再沿转动后的oyj,轴平移b个单位，求对应的合成齐次变换矩阵M。,解1绕ox轴转角之后，oyj轴用参考系（i）的单位矢量ix,jy,kz,表示应为:jrj=cosjyi+sinkzikzj=-sinjyi+cosk
17、ziixj轴与原来不变,比较矩阵,即为矩阵中第二、三列。另外，沿转动后的oyj轴平移b单位，就是:bjYj=bcosdjYi+bsindkzi 故M矩阵为:,解2按前述的规则，由于Mx矩阵把oy轴转至oyj轴，沿oyj,轴再平移可达到同样的目的，即:,两个杆件坐标系的关系,如果两个坐标系分别固联在机器人的两个杆件上，例如杆件i-1和杆件i；利用M矩，我们可把杆件i上在i坐标系中的定点Pi 用杆件i-1坐标系表示为:Pi-1=i-1Mi Pi,五、杆件、关节和它们的参数,操作机由一串用转动或平移关节连接的刚体组成,每一对关节一杆件构成一个自由度。因此，N个自由度的操作机就有N对关节-杆件，0号杆
18、件固联在支座上，通常在这里建立一个惯性坐标系。最后一个杆件与工具相连。关节和杆件均由支座向外顺序编号；关节1处于连接杆件1和支座的点上，每个杆件至多与另外两个杆件相连，不构成闭环。,六种低付关节,旋转（转动），棱柱形（移动），圆柱形，球形，螺旋和平面。其中只有旋转和棱柱形关节是机器人操作中常见的。,机器人手部的姿态表示,:定义为接近矢量，它沿手掌的法线方向.:手的法向矢量.若为平指手爪,则它与机器人的“手指”垂直.:手的滑动矢量，它指向手爪张合时手指的运动方向,可以用一个3*3的矩阵表示：,机器人手部的位姿,接近矢量,法向矢量,滑动矢量,这三个矢量构成右手矢量积,即:,手部的位置可以用从基准参
19、考原点指向手部中心的矢量 来表示，即:,手部的位姿可以用4*4矩阵表示,确定杆系的D-H法（Denavit-Hartenberg）表示法,机器人运动学的重点是研究手部的位姿和运动，而手部位置是与机器人各杆件的尺寸、运动副类型及杆件的相互关系直接相关连的。因此要研究手部相对于机座的几何关系，必须分析两相邻杆件的相互关系，即要先确定杆件坐标系。,连杆参数的表示,任何一个连杆，两瑞有关节i和 i-1,该连杆可以用两个量来描述，一个是两关节的轴线沿公垂线的距离ai-1，称作连杆长度，另一个是在垂直于ai-1的平面内两个轴线的夹角，称之为连杆扭角。,表达相邻杆件相互关系的两个参数,di是沿关节i的轴线两
20、个公垂线的距离(两连杆的偏置)，i是垂直于关节i轴线的平面内两个公垂线的夹角(两连杆之间的关节角),建立杆件的坐标系,按D-H的方法:i-1系的坐标原点设在关节i-1的轴线和关节i的轴线的公垂线与关节i的轴线相交之处.i-1系的Z轴Zi-1与关节i的轴线重合X轴Xi-1与上述公垂线重合，且方向从关节i-1指向关节i。当关节是转动关节时，i成为关节变量，若关节为移动关节，di成为关节变量，当i-1系的Xi-1轴与i系的Xi平行且方向相同时，定义n=0.,建立杆件i-1的坐标系具体方法,1)坐标系i-1的Z轴Zi-1与关节i的轴线重合；2)X轴Xi-1为相邻Z轴(Zi与Zi-1)的公垂线(指向由关
21、节i-1到关节i)；3）Y轴则按右手系确定；4）0号坐标系在机座上位置和方向可任选，只要Zo轴沿着第一关节运动轴；5）最后一个坐标系可放在手的任何部位，只要xn与zn-1轴垂直即可。,杆件的坐标系1,轴i,杆件的坐标系2,Zn-1,Xn-1,杆件参数与坐标系的关系,1)di为沿 zi-1，轴从xi-1到xi轴的距离，规定与zn-1轴正方向一致时dn为正;2)i为绕zi-1轴从xi-1轴到xi的转角，以逆时针为正;3)ai为沿Xi轴从Zi-1到Zi的距离，与Xi正方向一致时为正;4)di为绕Xi轴从Zi-1到Zi的转角，也以逆时针为正。,杆件坐标系之间的变换矩阵,在用D-H法建立了各杆件坐标系后
22、，即可方便在确定联系i坐标系和i-1坐标系的齐次变换矩阵。即i与i-1系间的变换关系可用坐标和平移，旋转来实现。,杆件坐标系之间变换的步骤,1、将Xi-1轴绕Zi-1轴转i角，使它同Xi轴对准（即Xi-1轴与Xi轴平行并指向同一方向）；2、沿Zi-1轴平移距离di，使Xi-1轴与Xi轴重合，3、沿Xi轴移动距离hi，使两坐标系。原点及X轴重合。4、绕Xi轴转i角，使两坐标系完全重合。,相邻坐标n和n-1的D-H变换矩阵,六.正向运动学,正向运动学主要解决机器人运动方程的建立及手部位姿的求解问题。机器人机构可以认为是一系列杆件由关节连接起来，我们把描述杆件之间关系的齐次变换矩阵记为M阵,从固定系
23、到手部的各坐标系之间的变换矩阵,M1描述第一个杆系相对固定系的位姿;M2描述第二个杆系相对于第一个杆系的位姿;而第二个杆系相对于固定系的位姿可用M1M2表示，令其等于T2，即T2=M1M2;第三个杆系对固定点有T3=M1M2M3，,六杆机器人的运动方程,对六杆机器人，有这里T6表示了手部的位姿，而方程,表示了从固定系到手部的各坐标系之间的变换矩阵与手部位姿的关系，我们称之为机器人的运动方程.,手部的位姿矩阵,是一个4*4的矩阵，表示了手部的位姿,例：1、斯坦福机器人的运动方程,斯坦福机器人是6自由度RRPRRR型机器人，操作机由机座o及六个活动杆件组成。其中杆件2和3形成移动关节，其余5个均为
24、方程旋转关节。,1、首先建立各杆件坐标系,注意各系z轴沿转动轴线的方向，x轴沿相邻两z轴的公垂线方向。O系的位置可任选。先确定机座坐标系Xo-Yo-Zo,将其原点O，平移到O1点处，使与x1-y1-z1，坐标共原点，1系的原点设在1轴2轴的公垂线与2轴的交点处，2系的原点设在2轴与3轴的交点处。而最后的一个坐标系的原点只要其X6轴与Z5轴垂直即可，故和3，4，5，6，共原点。,2、确定各杆件的结构参数和运动变量,3、写出各相邻两杆件坐标系之间的位姿矩阵,1系与0系是旋转关节连接,2系与1系旋转关节连接，杆长d2,3系与2系是移动关节连接，移动行程为d3,4系与3系是旋转关节连接,5系与4系是旋
25、转关节连接,6系与5系是旋转关节连接,手部位置的解,上述方程中各元素均为和d的函数，当和d给出后，可以计算出工件的位置和方向，这些值即手部位置的解，这个求解过程就是正向求解,手部位置的正向求解,上式中：,6系的原点,这里，我们把6的坐标原点与,3,4,5的坐标原点重合在一起，实际上，也可把6的原点移动到工件的中心及夹持器的中心，这样就可少乘一个矩阵，而求出手部的位姿，但这时的d60，而是d6=dT。,七.反向运动学,在机器人控制及轨迹规划中，即在已知手部要达到的空间位置的情况下，如何求出关节重量，以驱动各关节的马达，使手部的位置得到满足，这就是反向运动学问，也称间接位置求解问。,代数法中的逆变
26、换法,如有一个具有四个自由度的机器人，其末端执行相对于机座坐标系的位置矩阵0M4应为:0M4=0M11M22M33M4(a)将一组逆矩阵0M1-1，1M2-1，2M3-1连续左乘式两端，可得三个矩阵方程式。以0M1-1左乘(a)式:0M4=1M22M33M4得:0M1-1 0M4=1M22M33M4或简写成:0M1-1 0M4=1M4(b)同样可以有:1M2-1 0M1-1=0M4=2M4(c)2M3-1 1M2-1 0M10M4=3M4(d),以上面（b）(c)(d)的每一个矩阵方程可得12个方程，在这些关系式中可选择只包含一个或不多于两个待求运动参数的关系式，使在求解运动参数时，不用或少用
27、数学上的消元法，在多数情况下，前面由(b)(d)的逆推过程不一定全部作完，就可利用等式两端矩阵中所包含对应元素的关系式，求得所需的全部待求运动参数。,斯坦福机器人运动学方程的逆解,采用逆变换法求解，将用到变换矩阵的逆。,斯坦福机器人的运动方程:T6=0M11M22M33M44M55M6 现在已知手部（末端执行口）位置T6。及各杆件的结构参数a,h,，求:16(d1d6)先求1，用0M1-1左乘上式，得：0M1-1A1=1M22M33M44M55M6,代入上式:,展开得：,取第三行第四列，有：,为求1引入中间变量r,px=r cos py=r sin,(a),py r px,则(a)式化为:,-
28、sin1rcos+cos1rsin=d2,Cos1sin-cossin1=d2/r,利用和差公式:sin()=sindsoccossin 化为:,sin(-1)=d2/r,这里：0d2/r1，0-1,又（cos2+sin2=1）,Cos(-1)=故有:,求2，取式的第一行第上列和第二行第四列，有:,c1 px+s1py=sin2d3(e)-pz=-c2d3(d)将上式相除 得：,求d3，显然式不便于求d3，因为按上面(e)、(d)两式 或 即分母中有sin2或cos2，当2=90o或2=0o 都分别使d3=显然是不合理,用1M2-1 左乘得:1M2-1 1T6=1M22M33M44M55M6展
29、开 展开提取第三行第四列，则有：,求，采用如下运动方程：第一列：c2c4(nxc1+ny)-c4nzs2+s4(nyc1-nxs1)-s2(nxc1+ny)+c2n2-s4c2(nxc1+ny)+s4nzs2+(nyc1-nxs1)0,第二列：c4c2(oxc1+oys1)-2=ozs2+(oyc1-oxs1)-s2(oxc1+oys1)+c2o2-s4c2(oxc1+oys1)-2s2+c4(oyc1-oxs1)0,第三列：c4c2(axc1+ays1)-s2ax+s4(ayc1-axs1)-s2(axc1+ays1)+c2az-s4c2(axc1+ays1)-s2az+c4(ayc1-ax
30、s1)0,第四列：c4c2(pxc1+pys1)-s2pz+s4pyc1-pxs1+d2-s2(pxc1+pys1)-pzc2+d3-s4c2(pxc1+pys1)+s4s2pz+pyc1c4-c4pxs1+c4d20,取第二行第二列，有：,及,实际上可从前面的(f)式展开式中取第一行第三列、第二行第三列，有：1M2-1T6=2M35M6 此时若50，则:,若50，则:4=4+180o若5=0，则位姿退化(即自由度退化,4与5的转角互换)此时关节4与6的轴线重合.,求5，采用上述3M4-13T6=4M55M6的展开式，取第一行第三列，第二行第三列，有：,求6采用下述方程：4M5-1 4T6=5
31、M6 展开第一行第二列及第二行第二列，有：-c5c4c2(c1ox+s1oy)-s2oz+s4-s1ox+c1oy+s5s2(c1ox+s1oy)+c2oz=s6-s4c2(c1ox+s1oy)-s2oz+c4(-s2oz)+c4(-s1ox+c1oy)=c6,这里求出的全部关节参数，就是位姿矩阵的解，由求1，2，6的各关系式中可看出，只在1，2，d3三个关系中有px,py,pz。在4、5、6三个关系中有 等参数,3.关于解的讨论,对六关节机器人操作机，当后三个关节轴线（Z轴）交于一点时，前三个关节决定了机械接口坐标系原点06，在空间的位置。因此前三关节连同其杆件称为位置机构。后三个关节角决定
32、了机械接口坐标系的姿态。则后三关节连同杆件，称为姿态机构。,求解中可能碰到的另一个问题:机器人操作机运动学的解，一般不是唯一的，存在多解的可能。,PUMA机器人操作机达到同一位置有八种可能,其手臂相对于机座可形成左臂和右臂两种位形。每一种有肘向上和肘向下两种位形。这样由前三个关节角形成四种解，后三个关节还有倆组解即腕上翘和腕下垂。,斯比福机器人的树状解,对于各关节中运动变量的多解性，而形成的多组解，可以用如图所示的树状的图线来表示这种多解关系，称为树状解。,八.机器人的工作空间,1、基本概念 工作空间是手臂末端执行器的夹持中心能达到的空间范围.灵巧工作空间手臂末端执行器能以任何姿态到达的点所构
33、成的空间范围称为灵巧工作空间.,(例):3R平面关节操作机手臂，由长度为h1,h2,h3的三个活动构件和机座构成，其中h2+h3h1，取点p为末端执行器的参考点.以h1+h2+h3为半径的圆c1，和以h1-h2-h3为半径的圆c4及它们之间的环形面积就是机器人手臂在x-y平面内的工作面积及其边界，以h1+h2-h3为半径的圆c2和以h1-h2+h3为半径的圆c3及它们之间的环形面积，就是其灵巧工作面积其边界。,2、确定工作空间的方法。,（1）、几何计算法确定工作空间 最大作业半径:r=l2+l3+h弧形垂直面积:F=dh工作空间体积:v=(l2+l3+h)2d-(l2+l3)2d,夹持器形心点
34、p的坐标值:x=(l2+l3+h)cos1y=(l2+l3+h)sin1 z=l1+d由上式即可用来判别其工作空间的截面形状.当1=0时,x=l2+l3+h y=0 z=l1+d由于l2+l3,l1为结构参数，h和d为直线位移的运动参数，且相互垂直，故工作空间的垂直截面为矩形，当d=0,01 360o时，则形成工作空间的截面为环状。,（2）用运动学矩阵方程确定工作空间,求6r机器人操作机即PUMA机器人的工作空间。,x1,y1,根据国标GB12643-90中的规定:工作空间是指工业机器人正常运行时，手腕参考点能在空间活动的最大范围。故用03工作为所求工作空间的参考点，将求6R机器人操作机工作空
35、间简化成求3R机器人操作机工作空间的计算。,首先建立D-H坐标系，写出变换矩阵如下：令1=0，得03点在y-z平面内的坐标表达式为：,这一式子是03点在y-z平面内的一组圆族方程。若给出关节角的取值范围：-150o30o；-90o20o下面分两种情况讨论上式：,1、在-150o30o范围内，取3为参数，2为变量，由上式得：y=-(h2+h3c3)s2-(h3s3)c2 z-d1-d0=(h3c3+h2)c2-(h3s3)s2 将上两式平方在相加得：y2+(z-d1-d0)2=(h2+h3c3)2+(h3s3)2=R2它是在y-z平面内以01点为圆心，R为半径的同心圆族，这里R是3的函数，,图中
36、:情况1:3=0o,3=-90o3=-120o，3=-150o情况2:2=0o,2=-30o2=-60o，2=-90o,在-90o20o范围内，取2为参数，3为变量，由上式得：y+h2s2=-(h3c2)s3-(h3s2)c3z-h2c2-do-d1=(h3c2)c3-(h3s2)s3得方程：（y+h2s2）2+(z-h2c2-d1-d0)2=h32它是在y-z平面内，以(-h2s2，h2c2+d1+d0)点为圆心,h3为半径的圆。这里圆心坐标是2的函数。,两式构成了y-z平面内机器人工作区域的边界，如图中粗实线所示。当1绕2轴在取值范围内转动，则形成此机器人操作的工作空间。它是一个有一段开口
37、的环形空间，其极限位置取决于1的转角范围。,九.微分变换,微分变换是研究机器人运动中各坐标之间的微分关系，这个关系是机器人微运动学和动力学的基本点。在机器人运动时，有时需要对手部位姿作微小的调整，因此要讨论机器人杆件在作微小运动时的位姿变化。为了使手部按给定的方向并以给定的速动运动，需要调整各个关节的运动，因此需要推导关节位移和末杆位置的微分关系，解出各关节的速度，在此基础上可进行加速度和动力学分析。,1、机器人的微运动,设机器人运动链中某一杆件对于固定系的位置为T，经过微运动后该杆对固定系的位姿为T+dT，若这个微运动是相对于固定系进行的，总可以用微小的平移和旋转来表示，即：（左乘）,相对于
38、某个杆系i进行,根据齐次变换的相对性，若微运动是相对于某个杆系i进行的，则T+dT可以表示。,可见无论对哪个系作微运动，均会出现方括号内的公共部分，我们将此部分表示为:=M(dx.dy.dz)M(k.do)-I 于是上式变为 dT=0 T 及 dT=Ti 这是的下标不同是由于微运动是相对不同的坐标系进行的。,可见无论对哪个系作微运动，均会出现方括号内的公共部分，我们将此部分表示为:=M(dx.dy.dz)M(k.do)-I 于是上式变为 dT=0 T 及 dT=Ti 这是的下标不同是由于微运动是相对不同的坐标系进行的。,2、微分平移和微分旋转,微分平移变换与一般平移变换一样，其变换矩阵为:,微
39、分旋转,微分旋转表达式可由一般旋转变换式求出，我们先求一般旋转变换式。设K是其坐标系C的Z轴的单位向量，并设,若i,j,k为基准系坐标轴的单位向量，则K可表示为:K=axi+ayj+azk 绕K轴旋转等于绕C系内的Z轴旋转，即:M(k.)=M(z,),设基准系用T阵描述，那么总可以找到一个变换矩阵X，使C系与基准系T建立关系，（同样这个X阵也是一个坐标系）T=CX 在这个式中，X表示T相对于坐标系C的位置，对X求解得:因此 X=C-1T-(a),现K轴即C系内的Z轴，T绕K轴旋转等于X绕C系的Z轴旋转，从T系看去，X绕C系Z轴的旋转应为CM（Z）X，故有:M（k.）T=CM(z.)X 代入上式
40、X=C-1T，得:M（k.）T=CM(z.)C-1T M(k.)=CM(z.)C-1,展开此式得:,式中:,利用正交阵的某些性质可以简化(b)式，令Kx=ax Ky=ay Kz=az，并定义(正矢):Vers=1-cos，则有:,此即绕任意向量K旋转时的变换矩阵的一般表达式。绕坐标轴旋转变换只是其特例。,一般旋转变换矩阵有了以后就可求出微分旋转表达式，注意当0时，sind，cos1，Vers0，因此上式变成:,-A*,令:Kxd=x Kyd=y Kzd=z于是又可改成,因此可以看成由和d两个向量组成，叫微分旋转矢量，d叫微分平移向量，分别表示为,于是变为:,-(d),3、微分旋转的无序性,在齐
41、次变换中，矩阵左乘与右乘的意义与效果是不同的，而对微分旋转来说，左乘右乘的次序是无关的。为了说明这一点，先看坐标轴微分旋转的情况。当0时，sind，cos1，若令:x=dx，y=dy，z=dz,则绕三个坐标轴的微分旋转矩阵分别变成:,左乘右乘的结果,最后结果中忽略了高阶小量xy,两者结果相同，可见这里左乘右乘等效。微分旋转其结果与转动次序无关，这是与有限转动的一个重要区别。,在上述两次微分转动后，再左乘或右乘上一个绕Z轴的微分转动，得观察上面绕一个轴至三个轴微分旋转的矩阵，发现它们都是反对称矩阵,(c),对照前面(a)式与(c)式，两者是等效的，故有以下关系:Kxd=x Kyd=y Kzd=z
42、于是(2-141)又可改成,因此可以看成由和d两个向量组成，叫微分旋转矢量，d叫微分平移向量，分别表示为:,、d合称为微分运动向量，可表示为:,若 表示一个微分旋转，表示另一个微分旋转，则两次连续转动的结果为:,这说明任意两个微分旋转的结果为绕每个轴转动的元素的代数和，即微分旋转是可加的。,例:已知一个坐标系 相对固定系 的微分平移向量为d=i+0.5k，微分旋转向量=0.1j.求:A系相对固定系的微分变换dA,解：先求，由式（f）可得:,4、两个坐标系之间微运动的关系,实际应用中往往需要得到其两个坐标系i和j之间的微运动关系，即i和j之间的关系，不失一般性，假定j系就是固定系即o系，由前面微
43、运动可知:（dT=oT,dT=Ti）若使两者相等则oT=Ti由此可得i=T-1oT,说明了o与i的关系,为此展开此式，先设:,即把微分坐标变换T的元素通过向量n,o,a和p表示。,而,说明:设：,根据矢量叉积:,再左乘T-1我们得到:,根据混合积的性质:,这样，上式的对角线全为零，再整理得:,而i又可由式(f)得到，即:,-(K),比较上两式，可得到如下关系:,这组公式表示了相对于固定系的微分旋转与平移向量,d与相对i系的i，di的关系，由此我们可以由一个系的微分运动求量一系的微运动。,(J),例：已知坐标系 及微分平移向 量d=i+0.5k，微分旋转向量=0.1j，求A系中等价的微分平移向量
44、dA和微分旋转向量A。,解：按照式(J)，先求A系的n,o,a,p,n=j o=k a=i p=10i+5j,dA=(0-0.5 1)T A=(0.1 0 0)T,为验证这一结果，可将dA、A代入式(K),2,X0,八.雅可此矩阵及其应用,以2自由度平面机器人的操作机为例，如图2-21所示，端点位置x，y与关节位移1、2的关系为:x=l1c1+l2c(1+2)y=l1s1+l2s(1+2),l1,L2,1,Y0,1、关节与手部的微分关系。,将其微分，得:,写成矩阵的形式，有:,简写成:dx=Jd,式中，J就称为操作机的雅可比(Jacobian)矩阵，它由函数x，y的偏微分组成，反映了关节微小位
45、移d与手部微小运动dx的关系。,若对上式进行偏微分，则得:,由J中元素的组成可见，J阵的值随手部位置的不同而不同。,假设关节速度为:手部速度为:,我们对 同除以dt得:,或:,若令J1、J2分别为雅可此矩阵的第一列矢量和第二列矢量，则上式可写成:,上式右边第一项为仅由第一个关节运动引起的端点速度，第二项为仅由第二个关节运动引起的端点速度，总的端点速度为这两个速度矢量的合成。雅可此矩阵的每一列表示其它关节不动而某一关节以单位速度运动产生的端点速度。,2、n自由度机器人雅可此矩阵的计算,假设dXe表示机器人手部微小移动的三维向量，de表示手部微小转动的三维向量，均以固定系为参考系，将它们写成一个六
46、维向量，即:,将上式两端除以dt，即得手部的速度与角速度,如前所述，手部的速度和角速度可用雅可比矩阵表示为关节速度的线性函数，即:,式中:,为n*1的广义关节速度向量,上式中J阵为6*n矩阵:,其前三行与线速度Ve有关，后三行与角速度e有关，而每一列向量表示相应单独的关节所产生的速度和角速度，且每个列向量均为杆件参为和手臂位姿的函数。,令 和 分别为雅可此矩阵与线速度和角速度有关的3*1矢量，可得J阵分块为:,因此可将手部的线速度写成:,(2-163),(2-164),若关节i是移动关节，它使手部产生一个沿关节轴方向的线速度，设 为沿关节轴i方向的单位向量，di为沿此方向的关节速度标量，于是有
47、:,(2-165),若关节i是转动关节，它使杆i到杆n以角速度i转动，即:,这个角速度在手部产生一个线速度。令 为从i-1系原点至手部的位置矢量，则由角速度i产生的线速度为:,(2-166),(2-167),因此手部的速度可由式（2-165）和（2-167）来确定，移动关节用前者，转动关节用后者。类似地，手部的角速度可以表示为式（2-163）所含，列向量的 线性组合，即:,(2-168),当关节i是移动关节时，它不在手部产生角速度，故:-(2-169)若关节i是转动关节，角速度为:-(2-170),式(2-165),(2-167),(2-169)和(2-170)确定了雅可此矩阵的所有元素，即:
48、对移动关节(2-171)对转动关节(2-172),矢量 和 是关节位移的函数，可根据坐标变换算出。因 定义为沿关节轴i方向的单位向量，而关节轴i是与Zi-1同向的，故bi在i-1系内可表示为b=(001)，使用旋转变换矩阵可将b转换到固定系中去，即可求出在固定系中的bi-1为:,(2-173),而位置矢量 可用4*4的矩阵 来计算，令 为 的4*1矢量，为i-1系的坐标原点矢量，于是 的位置矢量为 应用齐次变换的方法，可写成：,(2-174),此式右边第一项为从固定系原点到手部的位置矢量，第二项为从固定系原点到i-1系原点的位置矢量。如图:,r 0,e,Oi-1,OO,r0,i-1,ri-1,
49、e,x,y,z,Oe,O0,2,l0,d3,1,2,b2,1,Z0,b1,b0,X0,Y0,O1,端点,例有一个三自由度球坐标的机器人，结构如图所示，各关节位移为1，2和d3。为了求得雅可此矩阵，首先应确定各1关节轴的方向。,解一:由图可知各轴的矢量为：,对转动关节，所需的位置矢量:,将上述数据代入式（2-171），（2-172）和（2-163）中，得:,解二:,Z0,-90o,Z1,Y1,X1,1,Y0,X0,90o,Z2,Y2,X2,Z1,Y1,X1,2,下面求 r0,e 用齐次坐标X0来求：这里 为e系的原点座标,和前面所求ro,e相同。,对于 的位置矢量我们可用来求解,用齐次坐标表示:
50、,这样和前面所求的结果完全一样。,九.逆瞬时运动学,1、关节运动速度的确定 上节式(2-162)说明了手部速度和角速度 为关节速度的函数，现在我们来讨论逆问题，即已知手部的速度和角速度，如何求相应的各关节的速度。,对一个六自由度的机器人，其雅可比矩阵为6*6方阵，若手臂当前位姿为非奇异，则J-1存在，将式(2-162)左乘J-1得:(2-175)此式给出了为得到手部速度所需的关节速度。,显然这里的关键问题是求J-1 一般来说，求J-1是比较困难的，有时会出现奇异解。所谓奇异是指J阵是随手臂位姿而变化的。因此在某种情况下，J-1可能不存在，与此对应的手臂位姿叫奇异位姿。这时,无论怎样选择关节速度
