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1、机器人控制的实际应用 任课教师：吴伟国 机电工程学院机械设计系 仿生仿人机器人及其智能运动控制研究室 H&G Robot and Its Intelligent Motion Control Lab.,HIT2009-07-19,第五章 机器人位置/轨迹控制,本章主要内容：PD控制及稳定性？动态控制前馈控制前馈+反馈控制计算力矩法加速度分解法实验结果,哈工大机械设计系,位置/轨迹控制为机器人最基本的控制目标。本节内容：(1)位置/轨迹控制的基本理论(2)以SICE-DD机器人的控制实际。,5.1 位置/轨迹控制,5.1.1 PD控制及其稳定性,一般地，n自由度机器人臂的运动方程式为：,哈工大机
2、械设计系,对于各关节使用如下具有重力补偿的位置和速度反馈控制律为：,使用(5.2)式作为控制律的控制方式PD控制方式,1)PD控制系统的构成,哈工大机械设计系,Fig.5.1 PD控制系统框图,PD控制方式的特点对各关节独立地使用PD这种线性反馈控制律可以保证渐进稳定性，且控制器容易设计，在工业机器人控制中广为采用。,哈工大机械设计系,当受扰动等因素的影响产生定常偏差时，可在式(5.2)中引入积分项，即采用PID控制方式可以消除定常偏差。,稳定性,对机器人伺服系统施加PD控制，为了保证能够从任意姿态到目标姿态的定位，需要证明其稳定性。在前述施加重力补偿的PD控制系中，不仅由李亚普诺夫稳定性定理
3、可以证明平衡点 是稳定的，而且由LaSalle的定理也可证明：从任意初始条件，当t趋近于无穷大时q(t)逼近于稳定平衡点，即渐进稳定。,哈工大机械设计系,5.1.3 SICE-DD机器人臂的实验,采样时间为3ms,哈工大机械设计系,该运动方程式中含有科氏力等非线性项。当机器人动作较慢时，因为这些非线性项为速度的平方项，所以同其它力学要素相比非常小。因此，仅在线性系统上添加重力补偿项，来把机器人动力学模型化是可以使用的。而且，对于从驱动器转角至关节角之间大减速比的操作臂来说，驱动器轴的惯性和粘性项远大于其它要素，决定着整个运动方程式。因此，对于运动速度较慢的机器人臂而言，其控制系统设计即使忽略离
4、心力和科氏力也不会产生大的问题。,5.2 动态控制,何谓“动态控制”,哈工大机械设计系,但是，对于DD(Direct Drive:直接驱动)型机器人而言，动作时将使离心力和科氏力大到不能忽视的程度。其理由是动作高速而且关节上没有减速。因此将其作为线性系统近似地模型化可以说是不妥当的。这些项构成的模型化误差全都作为未知的扰动，必须由反馈控制来平衡掉。当采用前面所提到那样的各轴PD控制器中，需要用PD要素把这些扰动全部补偿掉。但是，当扰动太大时，无论如何是补偿不掉的，从而产生轨迹误差。此外，这些扰动与假设的线性模型的状态量有着密切关系，未必具有当作白噪声来看待那样好的性质。这正是不能充分提高伺服系
5、统增益的原因所在。,所谓的“动态控制”是：不是把这些非线性项作为扰动看待，而是通过对运动方程式进行数值计算直接推定它们的值。然后，把为消去成为问题的非线性项而得到的计算值作为前馈或反馈。通过这种方法期待得到与没有非线性项的、理想情况相同的效果和良好的控制结果。,哈工大机械设计系,为此而采用的力学方程式的计算被称为“逆动力学问题”。即为某机器人被给定运动时，求解实现该运动所需要的驱动力矩的问题。其输入为瞬间各关节的转角、角速度、角加速度，计算结果能用不只离心力、科氏力、重力，还含有线性项的形式来得到。其计算误差越小越好的机器人将通过前馈或者反馈来接近理想的线性控制器。因此，应尽可能采用将实际机器
6、人正确模型化的运动方程式，知道正确的参数，是最重要的。此外，要求采样时间尽可能短以接近连续性系统。依靠控制算法，寻求实时地计算运动方程式的数值解，快速求解逆动力学的方法。,何谓“逆动力学问题”,哈工大机械设计系,逆动力学问题是基于参数推定值推定实现给定运动所需的力矩。其解可以表示为：其中，“”表示推定值。当操作臂轨迹追踪控制的所有轨迹用关节变量 qd(t)给定时，通过求解逆动力学问题可以计算出各关节的驱动力矩。如下图所示，若把该驱动力矩施加给实际机器人，期望在无误差的理想状态下实现各关节轨迹。控制律为：,前馈动态控制器的构成,哈工大机械设计系,机器人的力学模型没有误差、关节角及关节角速度与目标
7、值完全一致、而且没有扰动的时候，即满足如下条件时：操作臂的轨迹与给定的轨迹完全一致。但实际上，由于模型误差、扰动的存在，用这样的控制器是得不到好结果的。机器人对外界进行作业时会受到出不希望的扰动、因把持的物体质量的不同会导致力学特性的变化、因与外界接触时一定会受到扰动。而且，一旦轨迹稍有偏差，就会导致计算力矩与实际需要的力矩间产生偏差，从而产生更大的轨迹误差。设轨迹误差为：则，可得关节角的误差方程式为：,哈工大机械设计系,误差不收敛为0。所以，上述控制律(5.12式)是不能实现的。,哈工大机械设计系,在所示的前馈控制系统中追加各关节角PD反馈的控制系统如所示。即是用PD控制器控制由前馈得到的近
8、似线性化系统。轨迹误差和模型误差引起的扰动通过关节角和角速度的反馈被抑制住。而且，因为各关节的轨迹误差不大，所以计算得出的关节力矩可以有效地平衡掉非线性项。设PD增益分别为K p,K v,则该控制系统的控制律为：,5.2.3 SICE-DD臂的控制实验,Fig.5.8 实验1:仅有前馈的控制结果,Fig.5.6 SICE-DD臂系统,Fig.5.7 实验1末端轨迹,哈工大机械设计系,SICE-DD机器人前馈控制实验(Movie),Fig.5.9 实验1:前馈+PD反馈控制系统,Fig.5.10 实验1:前馈+PD反馈控制实验结果,哈工大机械设计系,机器人操作臂,SICE-DD机器人前馈+PD控
9、制实验(Movie),Fig.5.11 实验2末端轨迹,Fig.5.12 实验2:前馈+PD反馈控制实验结果,哈工大机械设计系,5.3 计算力矩法(Computed Torque Method),计算力矩法控制系统的构成,图5.13 计算力矩法控制系统,在关节空间内进行动态控制的方法，给机器人操作臂的施加的控制指令是各关节的动作,计算力矩法控制系统与前馈+PD反馈控制系统的对比：,哈工大机械设计系,哈工大机械设计系,哈工大机械设计系,哈工大机械设计系,哈工大机械设计系,假设M的模型化误差非常小，以至于可以使得：,式(5.36)完全可以看作是：左侧完全线性的系统施加右侧的输入的控制系统。等式右侧
10、可以假定为微小量，即假设为0。则如果选择合适的Kv、Kp，则可实现稳定的控制系统。因为(5.36)式的左侧的动态特性仅依赖于Kv、Kp，所以可以认为：即使机器人操作臂的位姿不断变化，其动态特性是不变的。,欠缺严密性！关于式(5.37)的精辟论述参见文献：J.J Craig:Adaptive Control Control of Mechanical Manipulators,Addison-Wesley Publishing(1988),哈工大机械设计系,哈工大机械设计系,关于计算力矩控制方法在实际控制应用上的讨论：应用计算力矩法控制机器人操作臂时，逆动力学计算需要实时地进行，一个控制周期内的
11、计算必须在比采样周期更短的时间内完成。在已往，实时性要求给该方法实用化问题带上了很重的枷锁，但现在CPU的高速化发展非常快，对于通常的6-D.O.F(Degrees of Freedom)以下机器人操作臂逆动力学计算的实时性是可以实现的。可以简化逆动力学计算求近似解的一些方法被提出了。若计算周期比伺服周期长，则最好按着采样周期的倍数完成逆动力学计算。对于的机器人操作臂而言，计算力矩控制法完全能够实现，具有充分的实用性。计算力矩控制法不仅限于机器人操作臂，也适用于其他机械系统的控制，具有普遍适用性。而且对于力学等非线性问题控制精度不需提高的情况下是有效的方法。,哈工大机械设计系,5.3.2 SI
12、CE-DD机器人操作臂的计算力矩法控制实验,用前述图5.13所示计算力矩法控制系统对SICE-DD臂进行位置控制。机器人操作臂末端所给定的轨迹为图5.14所示的圆形轨迹。末端操作器的运动为：00.59s以13.889rad/s2加速；0.590.754s以8.333rad/s匀速画圆；其后以-13.889rad/s2减速停止在1.368s时刻。,哈工大机械设计系,实验结果：计算力矩法控制实验结果如图5.15。前馈+PD反馈控制实验结果如图5.16。实线为轨迹3下关节1的角度误差；虚线为轨迹3下关节2的角度误差。计算力矩法控制与前馈+PD反馈控制实验结果的比较：关节角误差大小几乎没有差异，但前者
13、几乎没有振荡。计算力矩法的优点是：末端操作器位姿势变化但最优增益不变。,哈工大机械设计系,5.4 加速度分解控制,何谓“加速度分解控制”,前述的计算力矩法是在关节空间进行控制的方法本节介绍的“加速度分解控制”方法是在基坐标系的动态控制方法，是以让机器人操作臂末端追从在基坐标系内给定的目标轨迹为控制目的的一般机器人操作臂的作业是在相对于基坐标系改变末端操作器的位置、姿态，要求机器人沿着在基坐标系内给定的轨迹运动。,在基坐标系内进行动态控制的方法，给机器人操作臂的施加的控制指令是末端操作器在基坐标系的位姿,哈工大机械设计系,逆动力学,机器人操作臂,1-s,1-s,Kv,Kp,e,-,-,+,+,+
14、,+,+,图5.17 加速度分解控制系统框图,在基坐标系内进行动态控制的方法，给机器人操作臂的施加的控制指令是末端操作器在基坐标系的位姿,+,-,正运动学,FF+PD控制,线性补偿,哈工大机械设计系,加速度分解控制方法是将机器人的动态特性在直角坐标系中线性化，对线性化的系统实施加速度的前馈和PD反馈控制的控制系统；直角坐标系各轴方向上的动态特性保持不变。计算力矩法是在关节空间中将机器人的动态特性线性化，即使机器人的位姿发生变化，各关节控制系统的动态特性也能保持一定。,哈工大机械设计系,这里，首先以机器人的位置（移动运动分量）控制为对象论述加速度分解控制，关于含有姿势（回转运动分量）的加速度分解
15、控制在后面论述。,将机器人追从的轨迹设为末端操作器在固定在空间中的基坐标系中的位置矢量xd(t)。基于与计算力矩法相同的思想，对加速度进行PD反馈控制，则有：其中：x是机器人的当前位置。机器人以上式(5.38)中的加速度 运动时，即 时，误差方程式为：其中：适当地设定Kv,Kp，可实现稳定的控制系统。,哈工大机械设计系,机器人操作臂各关节的速度 和末端操作器的速度 用Jacobain矩阵可写为：求式(5.41)对时间的微分，得：将(5.38)式的 带入(5.42)式中的 中，解 得：式(5.43)给出了为满足式(5.38)的关节加速度。,哈工大机械设计系,为实现 运动的关节力矩，应用机器人操作
16、臂逆运动学得：,关于机器人姿态的控制：因为机器人的姿态控制表现为非线性，上述的讨论原封不动地应用在姿态控制上是不成立的。第1，只由姿态的指令值单纯地减去机器人当前姿态不能求得姿态的误差；第2，不能单纯地像式(5.39)那样证明稳定性。对于后者，面向指令值的跟踪误差小，在线性近似成立范围内与式(5.39)同样的收敛性，这已被证明了。但对于前者，作为含有位置与姿态控制的加速度分解控制法，按下述方法来处理。,哈工大机械设计系,含有位置与姿态控制的加速度分解控制法,末端操作器的位置和姿态的表示、姿态误差,从固定在空间中的基坐标系侧看末端操作器的位置矢量为p，固定在末端操作器上的坐标系x,y,z坐标轴方
17、向单位矢量分别为n,o,a。,哈工大机械设计系,则，末端操作器的位置和姿态可用如下4x4的齐次变换矩阵表示：,同样，末端操作器的目标位置和姿态可用如下4x4的齐次变换矩阵表示：,则，末端操作器的位置误差为：,哈工大机械设计系,末端操作器姿态误差是目标姿态与实际姿态的差，如图5.19所示，表示为回转矢量，定义为：,其中，r表示单位回转矢量；表示回转角度。绕矢量r回转角度时，n,o,a分别与nd,od,ad分一致。此时，eo可用下式计算：,则，(5.49)式可按下述方法推导出来：,哈工大机械设计系,则，(5.49)式可按下述方法推导出来：设绕单位矢量r回转角的齐次变换矩阵为R,设则，有：,哈工大机
18、械设计系,则，由(5.48)、(5.50)有：,则，展开(5.52)式，带入(5.53)，由矢量外积定义得(5.49)式。,设末端操作器移动速度v，回转速度,其期望的指令分别为vd，d,则：,哈工大机械设计系,用(5.43)式即可求得含有姿态控制的加速度分解控制律。,周二下午7-8节至此,哈工大机械设计系,5.4.2 加速度分解控制法在SICE-DD 机器人操作臂的应用,SICE-DD机器人操作臂末端操作器的位置矢量为x,yT,不考虑姿态分量，则在(5.43)式中：,哈工大机械设计系,SICE-DD机器人操作臂的Jacobian矩阵在第2章运动学中推导为：,对J求逆矩阵有J-1的各元素为：,学生复习：逆矩阵的求法,哈工大机械设计系,哈工大机械设计系,哈工大机械设计系,哈工大机械设计系,5.4.3 加速度分解控制SICE-DD 机器人操作臂的实验及结果,控制系统for SICE-DD,实验轨迹：,哈工大机械设计系,哈工大机械设计系,哈工大机械设计系,
