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1、第四章 均匀反应堆的临界理论,4.2 有反射层反应堆的单群扩散理论,4.3 反应堆功率分布,4.1 均匀裸堆的单群理论,第四章 均匀反应堆的临界理论,前面两章讨论的是中子在非增殖介质内的慢化和扩散问题。本章将研究由燃料和慢化剂组成的有限均匀增殖介质（反应堆系统）内的中子扩散问题。在增殖介质内，中子在扩散过程中，一方面被不断地吸收，同时又由于核裂变反应不断地有新的中子产生。,在反应堆临界理论中，主要研究下面两个问题：,（1）各种形状的反应堆达到临界状态的条件（临界条件）,（2）研究临界状态下系统内中子通量密度的分布。,在讨论增殖介质内的中子扩散问题时，最感兴趣的是：这种链式裂变反应是不断地衰减，
2、还是自续地进行下去？在什么条件下这种链式反应过程能够保持稳态地自续地进行下去？这是第一章中所提到的反应堆临界理论问题。,4.1 均匀裸堆的单群理论,实际反应堆都是非均匀的，燃料以燃料棒的形式出现，而且各燃料棒的富集度存在差异，但要严格按非均匀堆进行中子扩散或输运方程求解，非常复杂，或则不可能。实际都作“均匀化”处理，即把燃料、慢化剂、冷却剂及结构材料看成均匀混合。,对中子能量的处理采用划分“能群”的方法，即把从源能量到热能的范围划分成若干区间（能群）。最简单的扩散模型就是单群，即把热中子反应堆内的所有中子都看成是热中子。更精确一些的模型是双群，即把热中子划为一群，快中子为一群。,4.1 均匀裸
3、堆的单群理论,根据上一章所得单群中子扩散方程,在由燃料-慢化剂构成的有限大小的均匀裸堆系统的芯部，单位时间、单位体积内产生的中子数为,得到,根据无限介质增殖系数的定义,考虑启动过程的独立的外中子源和用斐克定律,一、均匀裸堆的单群扩散方程及其解,4-1,无限平板反应堆的单群扩散方程的解,用D除上式各项，并注意到L2=D/a，得到,4-4,是一二阶偏微分方程，通常用分离变量法求解,代入4-4式,左端是x的函数，右端是t的函数，两端必须均等于某一常数，令为-B2,得方程组,4-5,4-6,方程4-5可改写为,为典型的波动方程，容易得出其通解为,由于初始通量密度关于x=0平面对称,由边界条件,要求,A
4、不能为零,或,Bn2称为特征值，对应一系列满足方程的特征函数。n=1的称为基波本征函数，n1的统称为谐波本征函数。,现在讨论时间相关项方程的,对应一确定Bn，有一确定的Tn(t)，用L2/(1+Bn2L2)乘以上式，有,其中,方程4-10的解,的解,对应每个n,是满足方程4-1的解，其线性组合也是原问题的解,4-10,其中Cn和An为待定系数，利用余旋函数系的正交关系可求得,代入上式，得4-15,二、热中子反应堆的临界条件,根据,随时间变化项为,由,（1）当k11,所有kn-1都小于1，通量密度按指数规律衰减，无法维持一个恒定中子通量密度分布,知n=1时，B1最小，k1最大,（3）k1等于1，
5、这时只有对应n=1的一项不随时间变化，其余随时间衰减,4-15,（2）当k11,这时所有kn-1中至少有一项大于1，通量密度按指数规律增加，反应堆也无法维持一个恒定中子通量密度分布,4-16,系统将出现形如4-16的稳定分布,上面三种情况分别对应次临界、超临界和临界，如图4.2,从上面讨论，得到两个重要结果：,（1）裸堆单群近似的“临界条件”为,B2系波动方程的最小特征值,（称几何曲率）,（4-17）,（2）当反应堆处于临界状态时，中子通量密度按最小特征值 所对应的基波特征函数分布，也就是说稳态反应堆的中子通量密度空间分布满足波动方程,，通常记为,此为单群理论的临界方程,由临界方程,满足临界方
6、程,显然，系统的材料组成给定,即,（4-17）,另一方面，若尺寸给定，必须调整堆芯燃料成分，使,可以得到临界尺寸，对无限平板堆，临界方程为,给定，则只有唯一的尺寸a0满足上式,式中各项的物理意义,1/（1+L2）,是热中子在扩散过程中的不泄漏几率。,不泄漏几率PL显然为,中子泄漏率=,根据,于是,和第一章的临界条件,完全一样，即k1就是前面定义的的反应堆有效增殖系数k,（4-17）式临界方程,可以看出,从不泄漏几率,反应堆的中子泄漏与几何曲率有关。从前面平板状反应堆的例子中可以看到，当反应堆体积增大时，就减小，因而正如所预期的那样，不泄漏几率也就增大。同样，扩散长度L愈大，意味着中子自产生到被
7、吸收所穿行的距离也愈大，因而从反应堆中泄漏出去的几率也就增大，不泄漏几率PL就要变小。,k=1.06，L2=300cm2，试求：（i）达到临界时反应堆的厚度H和中子通量密度的分布（设外推距离为2cm)；（ii）设取H=250cm，试求反应堆的有效增殖系数k。,例题：,设有如图所示一维石墨慢化反应堆,解：根据临界条件,求得临界反应堆的几何曲率,Bg=0.01414cm-1，另一方面，根据Bg=/a，因而有,由于外推距离d=2cm,求得临界时反应堆的厚度,H=a-2d=222.2-4=218.2cm,根据无限平板型均匀裸堆单群扩散方程的解,得临界时中子通量密度分布为,（ii）若H=250cm，则反
8、应堆的几何曲率,反应堆的不泄漏几率PL和有效增殖系数分别等于,上述例子演示了临界问题中要解决的两类问题,第一类问题：给定反应堆材料成分（k、L2 给定），确定临界尺寸。,与临界方程等价的临界条件,根据临界方程,等式左端的几何曲率,只与反应堆的形状和大小有关,等式右端k和L只与反应堆芯部材料特性有关,把右边记作,得,称为反应堆的材料曲率,反应堆临界条件可表述为：材料曲率等于几何曲率，即,第二类问题：给定反应堆形状尺寸，确定材料成分，如例题中的第2问。,由于型状尺寸给定,为已知,材料成分（一般是燃料的浓缩度）便可确定。,实际计算中，在反应堆材料成分和几何尺寸均给定情况下，求有效增殖系数k 和 反应
9、性,=0，反应堆处于临界,0，反应堆处于超临界,0，反应堆处于次临界,若反应堆的有效增殖系数k=0.90，计算反应堆的反应性。,例题,解：,核电厂通常用反应性单位：PCM,1PCM=10-5（k/k）,即,1=100,（1元等于100分）,1=700PCM,讨论反应堆动态问题时,反应性常用“元”为单位：,1元反应性为1个eff(有效缓发中子产额,若为0.007k/k),三、圆柱体裸堆的几何曲率（常见的反应堆形状）和中子通量密度分布,裸堆单群临界计算的关键在于求几何曲率和波动方程的基波解,通过严格的解析求解，半径为R，高为H的圆柱裸堆的几何曲率为,称为径向几何曲率,轴向几何曲率,中子通量密度只取
10、决于r和z两个变量,中子通量密度的分布形式为,圆柱形裸堆的通量密度分布为:轴向按中心对称的余旋分布,径向按零阶贝塞尔函数分布,两者相互独立。,利用极值条件可以可以求出，当直径D=1.083H时，圆柱体反应堆具有最小临界体积,这时实际反应堆的高径比接近1的原因。,均匀裸堆的通量密度分布形状是由波动方程的基波函数规定，它取决于堆的几何形状；而通量密度的大小、即常数A的大小不能由波动方程得到，因为方程是一齐次方程，一个解的任意倍数仍然是该方程的解。在反应堆功率给定时，通量密度的大小或常数A才能被确定。这说明与通量密度相联系的堆功率在临界下，如果不考虑工程因素的限制，可以是任意的。,特点：,关于圆柱形
11、裸堆的例题,参数：L2=53cm2，外推距离6.89cm，加硼后 为1.072。求：（1）设芯部高度为355厘米，求堆芯临界半径；（2）如果堆芯半径R=156厘米，求堆芯反应性。,解：,R=67厘米，临界半径R=67-6.89=60.1厘米,如果给定R=156厘米，几何曲率,反应性,有效增殖系数,4.2 有反射层反应堆的单群扩散理论,一、反射层的作用,反射层：,包围在反应堆芯部外面用以反射从芯部泄漏出来的中子的物质称作反射层,反射层的作用：,（1）减少芯部中子的泄漏，从而使芯部的临界尺寸要比无反射层时的小，这样便可以节省一部分然料。,（2）提高反应堆的平均输出功率。这是由于包有反射层的反应堆，
12、其芯部的中子通量密度分布比裸堆的中子通量密度分布更加平坦的缘故,反射层材料：,（1）散射截面s大,s 大时中子逸出芯部后在反射层中发生散射的几率就大，因而返回到芯部机会增多。,（2）吸收截面a要小,(3)慢化能力要强,以减少中子的吸收,以便使能量较高的中子在从反射层返回到芯部时，已经被慢化为能量较低的中子，从而减少中子在堆芯内共振吸收的几率。,良好的反射层材料，也是良好的慢化剂材料，常用的反射层材料有：水、重水、石墨和铍等。,二、反射层节省,在芯部包有反射层以后，芯部临界大小的减少量称为反射层节省，用表示。,对球形反应堆：,=R0-R,对圆柱形反应堆：,径向反射层节省,轴向反射层节省,有反射层
13、反应堆的几何曲率,用等效裸堆的几何曲率表示,球形堆,圆柱形堆,反射层节省与哪些因素有关？,球形反应堆的反射层节省可以表示为,T为反射层厚度，Lr为反射层中的中子扩散长度,分两种情况讨论:,（1）反射层厚度很小，即TLr，,反射层节省可以写成,T,（2）反射层很厚，即TLr，这时,于是,Lr,即反射层厚度增加到一定值后，反射层节省就达到一个常数值,4.3 反应堆功率分布,压水堆堆芯假设为理想均匀圆柱体，即认为燃料元件、慢化剂及结构各类材料是均匀混合的。,由均匀裸堆的单群理论可知径向中子通量密度为对称于堆芯中心的贝塞尔函数分布，而轴向中子通量密度为对称于堆芯中心的余弦分布,有反射层的功率分布,实际
14、上，压水堆堆芯是有水反射层包围着，这样部分热中子将返回堆芯，能量大于热能的泄漏中子在反射层内将被慢化，使堆芯边缘的热中子通量密度高起来,轴向功率分布与堆芯然耗的关系,随着堆芯然耗的加探，径向（尤其是轴向）中子通量密度（或功率）分布趋向平坦，且可能会出现“驼峰”形状。,二、中子通量密度分布不均匀系数,1、热中子通量不均匀系数,定义：,芯部内热中子通量密度的最大值与热中子通量密度的平均值之比，以Fq表示,V是堆芯的体积。Fq愈大，则芯部的热中子通量密度分布愈不均匀，所以，Fq是表征堆芯内热中子通量密度分布不均匀程度的一个系数。对不同形状反应堆,将通量密度分布代入,并令最大通量密度为1即可得Fq的表
15、达式.,对均匀圆柱形裸堆,式中Fr称为径向通量密度不均匀系数，Fz称为轴向通量密度不均匀系数。,Fq=FrFz=2.311.57=3.62,这说明通量密度的分布极不均匀，显然对堆芯安全和功率输出不利，因此实际燃料装载都采用非均匀方式。,因通量密度与位置坐标（x,y)有关,2、功率展平的概念及展平措施,堆芯总的功率输出和 成正比，提高 要受到热工的限制，因此展平中子通量密度分布，或功率密度分布就变得重要。,展平措施：,(i）芯部分区布置：,将堆芯按径向分为几个区，每一区用不同富集度的燃料。,(ii）可燃毒物的合理空间布置：可燃吸收体（硼、钆等）,(iii）采用化学补偿溶液及部分长度控制棒以展平轴
16、向通量密度分布,此外，反射层的应用，合理地安排提棒程序，控制棒的合理布置等均对展平中子通量密度分布有益。,三、轴向中子通量密度偏差与轴向偏移,1、轴向中子通量密度偏差（AFD 或I),PT为圆柱形堆芯上半部功率，PB为堆芯下半部功率。PN等于100满功率,或者,2、轴向偏移（AO),PT+PB为堆芯实际总功率，而不是100满功率,上半和下半部功率对100功率归一分额之差,都是描写轴向中子通量密度分布的重要运行物理量,3、AFD（I）与AO的差别,a)AO 是常数，是由堆芯内轴向功率分布的形状决定的，与功率值无关。,例如：在100满功率情况下,在50%功率情况下,b)AFD 不仅取决于堆芯轴向功
17、率分布形状，也与功率值有关。,例如：在 100满功率情况下,在50%功率情况下,压水堆核电厂技术规范对AFD进行限制,四、象限功率倾斜比（QPTR),圆柱形堆芯分上部和下部，各又分为四个象限，功率在各象限存在差别，用上部或下部象限功率最大值与四个象限功率的平均值之比，取其大者得QPTR,P是实际堆功率相对于额定功率的份额,4.4 双群扩散理论,单群理论简单，但只能给出一些近似结果。对热中子反应堆，用双群理论可得到较好结果。,双群：,堆内中子按能量划分成两群,热中子归为一群，简称热群；,高于热能的中子归为一群，简称快群,两群分界能对于水堆约为0.6至1电子伏,在热中子堆内，快群中子主要是热中子所
18、引起的裂变产生，它又通过慢化和泄漏而消失；而热中子则来源于快群中子的慢化，由于吸收和泄漏而消失。因此，根据中子平衡关系可列出反应堆稳态时芯部的快群及热群的扩散方程为,下标l,2 分别代表快群和热群,r为快群的移出截面，12为快群到热群的散射截面。,扩散系数及所有的中子截面都是经中子能谱平均后的平均值。,求解该方程，可得反应堆内双群中子通量密度的典型分布曲线，如图,突起的原因：,反射层的热中子吸收较小，慢化能力较强。,用双群扩散理论，有效增殖系数 k 为,其中，Ps为快中子在慢化过程中的不泄漏几率，Pd为热中子扩散过程的不泄漏几率。两者的定义为,双群理论的临界方程为,得,对于大型反应堆，很小，若略去 项，则得到,式中，M2=+L2，这样便得到了修正单群理论的临界方程。,1942年世界上第一座核反应堆运行成功,
