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1、事件：是否发生 随机性 发生的可能性是可以度量的 规律性,问题：一次试验中，事件发生的可能性究,竟有多大？如何确定？,1.2 概率的定义与性质,的频率，记作。m 称为频数。,显然,一、概率的统计定义,频率：若事件 A 在 n 次重复试验中发生了m次，,则称比值 为事件A在 n 次重复试验中发生,例 掷一枚均匀硬币，设A=出现正面,考察,可见，随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面,的频率稳定在1/2左右。,概率的统计定义：,在大数次重复试验中频率的稳定值称为事件,的概率，记作P(A)。,对必然事件,上述例中，,对不可能事件,1、古典概型,若随机试验满足：,(1)有限性 基本事件的个数为有限个
2、，,(2)等可能性 每个基本事件发生的可,能性相等，即,称这种等可能模型为古典概型。,二、概率的古典定义,即,概率的古典定义：,也称为A的有利事件数。,显然有,P(A)=,【例1】掷一枚均匀骰子，设A=出现偶数点。,试验1：观察点数,试验2：观察点数的奇偶性,1,2,3,4,5,6,A=2,4,6,【例2】从6个男人，9个女人中选出5个人组成 一委,员会，若选择是随机的，那么委员会正好由3个男人,【解】设A=委员会正好由3男2女组成,【例3】把10本书随意地放在书架上，求其中指,定的5本书放在一起的概率。,【解】设A=指定的5本书放在一起,和2个女人组成的概率是多少？,【例4】将三封信随机地投
3、入四个邮筒中，求,下列事件的概率,A=指定的 三个邮筒中各有一信,B=任意的 三个邮筒中各有一信,C=某个指定的邮筒是空的,一般地，将n 个物品随机地放入N个容器中去，,求有关事件的概率，是古典概型中的一个典型问题,分房问题。,【例5】如果一手5 张扑克牌有连贯的点数但,不是同一花色，就称为一个顺子，求发到的一手牌,是顺子的概率。,【解】设A=发到的一手牌是顺子,发牌所有可能结果共有 种。,发到A、2、3、4、5(不管花色)的可能结果有，,去掉花色相同的4种，所以共有 4 种。,故顺子总数,同样发到10、J、Q、K、A的可能结果也有 4 种。,为10(4)种。,2、几何概型,若将事件“点落入区
4、域A中”记为A,则,由于,=1,从而,一般地，若试验的基本事件有无穷多个，但是可用某种几何测度(如长度、面积、体积)来表示其总和，设为S，并且其中的一部分，即随机事件A所包含的基本事件数，也可用同样的几何测度来表示，设为s,则事件A的概率定义如下：,几何概率,【例6】(会面问题)甲、乙两人约定7点到8点在某,地会面，并规定先到者应等候另一个20分钟，若超过20分钟对方仍未到达就离去不再等候,求两人能会面的概率(假定两人在7点到8点的任一时刻到达预定地点是等可能的)。,【解】,设甲、乙两人分别于7点x、y 分到达，,则x,y 可取区间0,60内的任一值，即,而两人能会面的充要条件是,即,【例7】
5、(浦丰投针)1777年，蒲丰(Buffon，1707-1788，,法国自然科学史学家、数学家、博物学家)提出著名的投针问题：,将长为l的一枚针随机地投掷到一张划有间距都等于 的,很多条平行线的水平纸面内，蒲丰指出了该枚针与纸面内任一,条平行线相交的概率为 试证明蒲丰的这个结论(书P8),【证明】,以x表示随机掷出的针的中点到离它最近一条平行线的距离，,以 表示该针与平行线的夹角,三、概率的公理化定义及性质,的随机事件A1,A2,An,有,则称P(A)为事件A发生的概率。,1、定义,设试验的样本空间为，对试验的任一随机事件A,定义实值函数P(A)，如果它满足以下三条公理:,公理1(非负性);,公
6、理2(规范性)P()=1；,公理3(可列可加性)对于可列无穷多个互不相容,概率的公理化定义：,(1)不可能事件的概率为0，即。,2、概率的性质,(2)(有限可加性)若n个事件A1,A2,An互不相容，则,推论：若n个事件A1,A2,An互不相容且，,则有,常用地,若AB=，则P(A+B)=P(A)+P(B),【例1】盒中有6只灯泡，其中有2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取1只,试求下列,事件的概率：A=取到的2只都是正品B=取到的2只中正、次品各1只C=取到的2只中至少有1只次品,若将有放回改为无放回，则概率又为多少？,若将取法改为一次抽取2只，则概率又为多少？,B=第一次正品，
7、第二次次品 第一次次品，第二次正品,有放回抽样:从产品中任取一件进行检验后放回,原产品中，再抽一件进行检验，以至进行数次.,无放回抽样:每次抽取的产品都不放回原产品中.,【解】1、有放回地抽取2只,2、无放回地抽取2只,3、一次任取2只,1、概率的统计定义：频率的稳定值,复习,2、古典概率：有限性、等可能性,基本事件总数,事件A所含基本事件数,几何概率：,长度、面积、体积,3、性质：若n个事件A1,A2,An互不相容，则,常用地：AB=，则P(A+B)=P(A)+P(B),P(A)=1P(A),【例1】(摸球问题)箱中装有a个白球b个黑球，,将球一个个摸出，求第k 次摸出的是白球的概率。,信箱
8、：，密码:abcdef,【例1】(摸球问题)箱中装有a个白球b个黑球，,将球一个个摸出，求第k 次摸出的是白球的概率。,【解】设A=第k 次摸出的是白球,法一:把a个白球b个黑球看作是有编号可区别的，,排成一列，不同的排法共有(a+b)!种。,第 k 个位置上是白球，有a,(a+b-1)!种不同的放法。,法二:认为这些球只有颜色的不同，没有编号的区别，,排成一列，只要在a+b个位置中选出a个位置放白球,共有 种不同的选法。,第 k 个位置上是白球，有 种不同的选法。,【例2】一批产品共20件，其中一等品9件，二等品7件，三等品4件，从这批产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中恰有2件等级相
9、同的概率；(2)取出的3件产品中至少有2件等级相同的概率。,【解】设A=3件产品中恰有2件等级相同 B=3件产品中至少有2件等级相同,注一般地，求若干个事件“至少”发生其一的概率往往用对立事件求。,【例3】从一副扑克牌(52张)中任取4张，求其中至少有2张牌的花色相同的概率。,【解】设A=4张中至少有2张同花,=4张同花,=3张同花,=每2张分别同花,=2张同花，另2张不同花,则 互不相容，且,=4张花色各不相同,或,【例4】某班级有n个人(n 365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率为多大？,【解】假定一年为365天，把365天当作365个“盒子”，则问题可归结为“分房问题”。,令A=n
10、 个人中至少有两个人的生日相同,则=n 个人的生日全不相同,这是历史上有名的“生日问题”：,(3)(广义加法定理)对任意随机事件A、B，有,常用关系：,特别当时，有,又由概率的非负性知，此时有,注：当，公式即为,P(AB)=P(A)+P(B)P(AB),P(AB)=P(A)+P(B),P(AB),=P(A)P(AB),【例5】在所有的二位数中任取一个数，求这个数能被 2 或 3 整除的概率。,【解】设A=取出的二位数能被2整除 B=取出的二位数能被3整除,则AB,=取出的二位数能被6整除,取出的二位数能被2或3整除,AB=,所以P(AB)=P(A)+P(B)P(AB),推广到三个事件和的情形：,一般地，n 个事件和的情形：,
