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1、习题五,1.设 是总体X的样本,分别按总体服从下列分布求,(1)X服从均匀分布:,解:,由Th5.1可知,(2)X服从泊松分布:,解:,(3)X服从二项分布:,解:,2.设 是总体X的一个样本,试证:,是总体方差的无偏估计量.,证明:设此总体的方差为DX.,(方差定义),4.设 是X的一个样本,试证估计量,都是E(X)的无偏估计,且 的方差不超过W的方差.,证:,是E(X)的无偏估计量.,W是E(X)的无偏估计量.,总体的方差的无偏估计量。,得证.,5.从某种灯泡的总体中,随机抽取10个样本,测得其寿命(小时)为:,1520,1483,1827,1654,1631,1483,1411,1660
2、,1540,1987.,解:,试求是方差的无偏估计.,方差的无偏估计量是,6.,设 为正态总体 的一个样本,适当选择常数c,使 的无偏估计.,解:由于,要使 的无偏估计量,必须使,7.设总体X的密度函数是,是一组样本值,求参数的最大似然估计量.,解:设样本的似然函数为,令,得,的最大似然估计量为,8.设总体X服从韦布分布,密度函数是,其中为已知,是来自X的样本,求参数的最大似然估计.,解:设,令,得,的最大似然估计量为,9.设总体X服从马克斯韦布分布,密度函数是,是来自X的样本,求的最大似然估计.,解:设似然函数为,令,得,的最大似然估计量为,10.已知某电子仪器的使用寿命服从指数分布,密度函
3、数是,今随机抽取14台,测得寿命数据如下:,1812,1890,2580,1789,2703,1921,2054,1354,1967,2324,1884,2120,2340,1480(单位:小时).,求的最大似然估计值.,解:设似然函数为,令,则,令,得,由随机抽取数据得:,的最大似然估计值为,12.设总体X的密度函数为,问,是否为的无偏估计?为什么?,解:,X是服从参数的指数分布,由指数分布的性质可知,而,的无偏估计量.,14.对球的直径作了5次测量,测量的结果是6.33,6.37,6.36,6.32,6.37(厘米),试求样本均值和样本方差.,解:,=6.35,15.在一批螺丝钉中,随机抽
4、取16个,测其长度(厘米)为:2.32,2.21,2.20,2.24,2.22,2.25,2.21,2.24,2.25,2.23,2.25,2.21,2.24,2.23,2.25,2.22 设螺丝钉的长度服从正态分布,试求总体均值的90%置信区间.(1)若已知=0.01;(2)若未知.,解:,设螺丝钉的长度为随机变量X,则,(1)若已知=0.01,则总体均值的置信区间为,根据,查表得,总体均值的90%置信区间(已知=0.01)为,(2.23-1.640.0025,2.23+1.640.0025),=(2.2259,2.2341),(2)若未知时,=0.00028,总体均值的90%置信区间为,根
5、据,查表得,=1.753,总体均值的90%置信区间(未知)为,(2.23-1.7530.0042,2.23+1.7530.0042),=(2.223,2.237),16.设正态总体的方差,为已知问抽取的样本容量n应为多大,才能,使总体均值的置信度为0.95的置信区间长不大于L.,解:当已知方差时,置信区间的长度为,由题意,得,查表得,17.在测量反应时间中,一心理学家估计的标准差是0.05秒,为了以95%的置信度使他的平均反应时间的估计误差不超过0.01秒,应取容量为多大的测量样本?,解:由题意,得,由第16题的结果,取n=97,18.对某机器生产的滚珠轴承随机抽取196个样本,测得直径的均值为0.826厘米,样本标准差0.042厘米,求滚珠轴承均值的95%与99%置信区间.,解:由题意,未知,均值的95%置信区间为:,均值的95%置信区间为,=(0.820,0.832),(0.826-1.960.003,0.826+1.960.003),均值的99%置信区间为:,均值的99%置信区间为,(0.826-2.5760.003,0.826+2.5760.003),=(0.818,0.834),
