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1、1,第四章,第四章 随机变量的数字特征,2,分布函数能完整地描述随机变量的特性,但实际应用中并不都需要知道分布函数，而只需知道随机变量的某些特征.,判断棉花质量时,既看纤维的平均长度,平均长度越长,偏离程度越小,质量就越好;,又要看纤维长度与平均长度的偏离程度,例如：,3,考察一射手的水平,既要看他的平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.,由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.,4,随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写,5,4.1 随机变量的数学期
2、望,4.1,设 X 为离散型随机变量其分布律为,若无穷级数,其和为 X 的数学期望 记作 E(X),即,绝对收敛,则称,定义,6,设连续型随机变量X 的概率密度为,若广义积分,绝对收敛,则称此积分为 X 的数学期望记作 E(X),即,数学期望的本质 加权平均 它是一个数不再是随机变量,定义,7,例1 X B(n,p),求 E(X).,解,特例 若Y B(1,p),则 E(Y),例1,8,例2 X N(,2),求 E(X).,解,例3 设 X 参数为 p 的几何分布，求E(X).,解,例2,9,常见随机变量的数学期望,10,区间(a,b)上的均匀分布,E(),N(,2),11,注意 不是所有的随
3、机变量都有数学期望,例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为,它的数学期望不存在!,12,设离散型随机变量X 的概率分布为,若无穷级数,绝对收敛，则,设连续型随机变量X 的概率密度为f(x),绝对收敛,则,若广义积分,13,设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为,Z=g(X,Y),14,设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为,f(x,y)，Z=g(X,Y),绝对收敛,则,若广义积分,15,解(1)设整机寿命为 N,五个独立元件,寿命分别为,都服从参数为 的指数分布，若将它们(1)串联；(2)并联成整机，求整机寿命的均值。,例4,例4,16,即 N E(5),(2)设整机寿命为,
4、17,可见,并联组成整机的平均寿命比串联组成整机的平均寿命长11倍之多.,18,E(C)=C,E(aX)=a E(X),E(X+Y)=E(X)+E(Y),当X,Y 独立时，E(X Y)=E(X)E(Y).,若存在数 a 使 P(X a)=1,则 E(X)a；若存在数 b 使 P(X b)=1,则 E(X)b.,期望性质,19,性质 4 的逆命题不成立，即,若E(X Y)=E(X)E(Y)，X,Y 不一定独立,注,反例 1,p j,pi,20,但,21,反例2,22,但,23,例7 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,求E(X),E(Y),E(X+Y),E(X Y),E(Y/X),解,例7,2
5、4,由数学期望性质,25,数学期望的应用,应用,26,据统计70岁的人在10年内,解,应用1（保险问题）,因意外事故死亡概率为0.02.保险公司开办老人,意外事故死亡保险,参加者需交纳保险费100元.,若10 年内因意外事故死亡公司赔偿 a 元,应如何,确定 a,才能使公司可期望获益;若有1000人投保,公司期望总获益多少?,设Xi 表示公司从第 i 个投保者身上所得,的收益,i=11000.则,Xi,应用1,27,由题设,公司每笔赔偿小于5000元,能使公司获益.,公司期望总收益为,例如，若公司每笔赔偿3000元,能使公司期望总获益40000元.,28,为普查某种疾病,n 个人需验血.验血方
6、案有如下两种：分别化验每个人的血,共需化验 n 次；,验血方案的选择,应用2,应用2,(2)分组化验,k 个人的血混在一起化验,若结果为阴性,则只需化验一次;若为阳性,则对 k 个人的血逐个化验,找出有病者,此时 k 个人的血需化验 k+1 次.,设每人血液化验呈阳性的概率为 p,且每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.,29,解 须计算方案(2)所需化验次数的期望.,设第 i 组需化验的次数为X i,则,不妨设 n 是 k 的倍数，共分成n/k组.,30,例如,当 时,选择方案(2)较经济.,31,市场上对某种产品每年需求量为X 吨，X U 2000,4000,每出售一吨可赚3
7、万元,售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问应该生产这中商品多少吨,才能使平均利润最大？,解,设每年生产 y 吨的利润为 Y,显然，2000 y 4000,应用3,应用3,32,33,显然，,故 y=3500 时,E(Y)最大,E(Y)=8250万元,34,解,应用4 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)P(t),求,相继两次故障的时间间隔 T 的数学期望。,例4,先求T的分布函数,35,即,36,设由自动线加工的某种零件的内径 X(mm)N(,1).已知销售每个零件的利润T(元)与销售零件的内径 X 有如下的关系：,问平均直径 为何值时,销售一个零件的平均利润最大？
8、,应用5,应用4,37,解,38,即,可以验证，,零件的平均利润最大.,39,引例 甲、乙两射手各打了6 发子弹,每发子弹击中的环数分别为：,甲 10,7,9,8,10,6,乙 8,7,10,9,8,8,问哪一个射手的技术较好？,解 首先比较平均环数,4.2 方差,4.2 方差,40,若E X-E(X)2 存在,则称其为随机,定义,即 D(X)=E X-E(X)2,变量 X 的方差,记为D(X)或 Var(X),概念,D(X)描述随机变量 X 的取值偏离平均值的平均偏离程度,数,41,若 X 为离散型随机变量，分布律为,若 X 为连续型随机变量，概率密度为 f(x),计算方差的常用公式：,42
9、,D(C)=0,D(aX)=a2D(X),D(aX+b)=a2D(X),特别地，若X,Y 相互独立，则,性质,43,则,若X,Y 相互独立,对任意常数C,D(X)E(X C)2,当且仅当C=E(X)时等号成立,D(X)=0,P(X=E(X)=1,称为X 依概率 1 等于常数 E(X),44,性质 1 的证明：,性质 2 的证明：,45,性质 3 的证明：,当 X,Y 相互独立时，,注意到，,46,性质 4 的证明：,当C=E(X)时，显然等号成立；,当C E(X)时，,47,例1 设X P(),求D(X).,解,例1,48,例2 设X B(n,p)，求D(X).,解一 仿照上例求D(X).,解
10、二 引入随机变量,相互独立，,故,例2,49,例3 设 X N(,2),求 D(X),解,例3,50,常见随机变量的方差(P.159),方差表,51,区间(a,b)上的均匀分布,E(),N(,2),52,例4 已知X,Y 相互独立,且都服从 N(0,0.5),求 E(|X Y|).,解,故,例4,53,标准化随机变量,设随机变量 X 的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,则称,为 X 的标准化随机变量.显然，,54,例7 已知 X 服从正态分布,E(X)=1.7,D(X)=3,Y=1 2 X,求Y 的密度函数.,解,例7,在已知某些分布类型时,若知道其期望和方差,便常能确定分布.,
11、55,附例 在 0,1 中随机地取两个数 X,Y,求 D(min X,Y),解,1,1,0,附例,56,57,例8 已知 X 的概率密度为,其中 A,B 是常数，且 E(X)=0.5.,求 A,B.设 Y=X 2,求 E(Y),D(Y),例8,58,解(1),59,(2),60,4.4 协方差和相关系数,问题 对于二维随机变量(X,Y):,已知联合分布,边缘分布,对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外,相互之间可能还有某种联系问题是用一个怎样的数去反映这种联系.,数,反映了随机变量 X,Y 之间的某种关系,4.4,61,称,为 X,Y 的协方差.记为,定义,定义,62,若D(X)0,D
12、(Y)0,称,为X,Y 的 相关系数，记为,事实上，,63,若(X,Y)为离散型，,若(X,Y)为连续型，,64,求 cov(X,Y),XY,解,例1,65,66,例2 设(X,Y)N(1,12;2,22;),例2,则XY=,若(X,Y)N(1,12,2,22,),则X,Y 相互独立,X,Y 不相关,67,例3 设 U(0,2),X=cos,Y=cos(+),是给定的常数，求 XY,解,例3,68,69,若,若,有线性关系,若,不相关，,但,不独立，,没有线性关系，但有函数关系,70,协方差的性质,协性质,71,相关系数的性质,Cauchy-Schwarz不等式的等号成立,即Y 与X 有线性关
13、系的概率等于1，这种线性关系为,系性质,72,X,Y 不相关,X,Y 相互独立,X,Y 不相关,若(X,Y)服从二维正态分布，,X,Y 相互独立,X,Y 不相关,73,例4 设(X,Y)N(1,4;1,4;0.5),Z=X+Y,求 XZ,解,例4,74,设随机变量 X 的密度函数为,(1)E(|X|),D(|X|)(2)求cov(X,|X|),问X 与|X|相关与否.(3)问X 与|X|是否独立？为什么？,解(1),补充题,补充题,75,(2),X 与|X|不相关.,76,(3),显然,因而 X 与|X|不独立.,77,附例 设 X,Y 相互独立,且都服从 N(0,2),U=aX+bY,V=aX-bY,a,b 为常数，且都不为零，求UV,解,由,附例,78,而,故,79,几个重要的随机变量函数的数学期望,X 的 k 阶原点矩,X 的 k 阶绝对原点矩,X 的 k 阶中心矩,X 的 方差,附录2,附录2,80,X,Y 的 k+l 阶混合原点矩,X,Y 的 k+l 阶混合中心矩,X,Y 的 二阶原点矩,X,Y 的二阶混合中心矩 X,Y 的协方差,X,Y 的相关系数,
