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1、1.统计量,2.分位点,若 X N（，2），X1，X2，Xn为样本，则,下页,设为未知参数，0已知.问题 原假设 备择假设 名称-,1）与0有显著差异（变化）？,H0：=0,H1：0,双侧检验,2）比0有无显著提高（增大）？,H0：=0(0),H1：0,右单侧检验,3）比0有无显著降低（减少）？,H0：=0(0),H1：0,左单侧检验,要点：含等号“=”的作为原假设(这样做就是为了数学处理的方便).,下页,3.如何提出原假设,F 检验 用 F分布,一般说来，按照检验所用的统计量的分布,分为,U 检验 用正态分布,t 检验 用 t 分布,4.检验名称,下页,假设检验分5个步骤：,第一步，提出原假
2、设；,5.假设检验的步骤,下页,第二步，选择统计量；,第三步，确定接受域和拒绝域；,第四步，计算统计量的值；,第五步，作出统计推断.,含等号的作为原假设,选择含被检验参数的统计量,依检验类型查相应的分位点,由样本观察值计算统计量的值,统计量的值在接受域内,则接受H0；在拒绝域内,则拒绝H0,8.2 正态总体均值的检验,一、单个正态总体均值的假设检验,设 X N(,2)，X1，X2，Xn；0为已知数.,H0：=0,H1：0（双侧）,H0：=0（0）,H1：0（右单侧）,H0：=0（0），H1：0（左单侧）,1、2 已知，即2=02时，选统计量,U 检验,下页,2、2未知时(t 检验)选统计量,例
3、1.设某次考试成绩XN(,2），从中任抽36人的成绩，算得平均分为66.5，标准差为15，问在显著性水平0.05下，是否可以认为全体考生的平均成绩为70分？,由题意=66.5，s=15，n=36,解:假设 H0：=0=70,选择统计量,查t分布表得，,显然统计量的值t=-1.4在接受域内，所以接受H0，即可以认为全体考生平均分为70分.,即拒绝域为|t|2.0301,由样本算得统计量的值为,下页,=0=70,例2.一种元件，要求使用寿命不得低于1000小时，现在从一批这种元件中随机抽取25件，测得其使用寿命的平均值为950小时，已知该元件寿命服从标准差100小时的正态分布，试在显著性水平0.0
4、5下确定这批元件是否合格.,解:假设 H0：=1000，H1：1000,选取统计量,，拒绝域为U-u0.05,又n=25,，100，算得,所以拒绝H0，即认为这批元件不合格.,查表得，u0.05=1.65,下页,设 X N(1,12)Y N(2,2 2)它们相互独立,则,二、两个正态总体均值差的假设检验,记,（1）,（2）,下页,|U|，U u，U-u,P|U|=；,设总体XN(1,12)，YN(2,22)，又设两总体相互独立，,假设,（）双侧检验 H0:1=2，H1：12（）右边单侧检验 H0:1=2，H1：12（）左边单侧检验 H0:1=2，H1：12,1、12，22已知时(U 检验),当
5、H0成立时,选统计量,PUu=；PU-u,由样本观察值计算出统计量 U 的值，当相应的,时拒绝H0，认为1与2有显著差异.,给定，查满足下面条件的相应 的 或 u,下页,2、，均未知，但=时（t 检验）,当H0成立时,选统计量,由样本计算出 t 值且对应于 查得临界值：,;t(n1+n22）,当|t|;t t(n1+n22）;t-t(n1+n22）,时，拒绝H0.,下页,分别为1=20cm,2=18cm各取80株树苗作为样本，算得苗高样本均值为：,例3.采用两种育苗方案作杨树的育苗试验，已知苗高的标准差,解:H0：1=2,H1：12,由题设 n1n2=80，,由于|U|=3.15，所以拒绝H0
6、，,已知苗高服从正态分布，判断两种试验方案对平均苗高有无显著 差异（=0.01）?,查表得,即认为两种试验方案对苗高有显著影响.,下页,例4.为考察温度对针织品断裂强度的影响今在700C和800C分别作8次和6次试验，测得各自的断裂强度X和Y的观测值，计算得,由题设 n1=8，n2=6，,由于|t|，所以拒绝H0，,假设X和Y均服从正态分布且方差相等，试问700C和800C对断裂强度有无显著差异（=0.1）?,查表得,即在显著水平0.10下认为700C和800C的断裂强度有显著差异.,解:H0：1=2，H1：12,，选统计量(哪个?),下页,3、大样本情形总体均值检验（U 检验）,设总体X分布
7、未知，但具有期望E(X)=，方差D(X)=2，(X1,X2,，Xn)为总体X的一个样本，欲检验 H0:=0 H1:0（0为已知参数.）根据总体方差2是否已知，分两种情形：（1）2 02（已知）时，选择统计量,（2）2未知时，选择统计量,若假设H0成立，由中心极限定理知,（近似地）,只要样本容量n50,就可以使用U检验.,下页,例5.某厂生产的一种型号的电阻元件其平均电阻一直保持在2.64，改变生产工艺后，测得所生产的100个元件的平均电阻为2.62，标准差s=0.06,问新工艺对该电阻元件的生产有无显著影响(=0.01)?,解：由于n=100,可视为大样本问题，根据题意考虑检验假设 H0:=2
8、.64,H1:2.64,选统计量,由于|U|=3.333，所以拒绝H0，,查表得,即认为新工艺对电阻元件的生产有显著影响.,由题设,下页,1、单个正态总体方差2的假设检验,假设（）双侧检验 H0:2=，H1:2,（）右边单侧检验 H0:2=，H1:2,（）左边单侧检验 H0:2=，H1:2,8.3 正态总体方差的假设检验,当 u 未知时，选统计量(u 已知时，略),下页,当H0成立时，统计量,对给定的显著性水平，查表得分位点：,拒绝域为：,下页,例5.已知某种棉花的纤度服从N(，0.0482)，今年从中任取8个样品，测得纤度为：,1.36,1.40，1.38，1.32，1.42，1.36，1.
9、44，1.32，,假设 H0:2=（=0.0482）,解:这是未知情况下，对总体方差的双侧检验,计算得,由于,所以接受H0，即认为今年棉花纤度的方差与0.0482无显著不同.,问今年棉花纤度的方差与已知纤度的方差是否相同(=0.10)?,查表得,下页,略 2、两个正态总体方差齐性的 F 检验,设总体XN(1,12)，YN(2,22)，又设两总体相互独立，,假设,（）双侧检验,（）右单侧检验,（）左单侧检验,当H0成立时,选统计量(u1,u2已知时，略),对给定的查F分布表得分位点,当,时，拒绝H0.,注：当 无显著差异时，称之为齐性的.,下页,例6.为比较两台自动机床的精度，分别取容量为10和
10、8的两个样本，测量某个指标的尺寸(假定服从正态分布)，得到下列结果,在=0.1时，问这两台机床是否有同样的精度?,车床甲：1.08,1.10,1.12,1.14,1.15,1.25,1.36,1.38,1.40,1.42,车床乙：1.11,1.12,1.18,1.22,1.33,1.35,1.36,1.38,解:,选统计量,查表得,由样本值可计算得到统计量的值为,F=1.51,所以接受H0，即认为两台机床有同样的精度.,下页,例7.从甲乙两种氮肥中，各取若干样品进进行测试，其含氮量数据分别为：,甲：n1=18，,若两种氮肥的含氮量都服从正态分布，问两种氮肥的含氮量是否相同？（=0.05）,解:
11、此题是两正态总体方差未知，亦不知是否齐性的情况下对两总体均值差的检验。须先作方差齐性检验，再用 t 检验.,（1）假设,由样本值得,查表得,由于,所以接受H0,即认为方差是齐性的.,乙：n2=14，,选统计量,下页,（2）假设 H0:1=2,所以接受H0，即认为两种氮肥的含氮量相同（无显著差异）.,查表得,由于,选统计量,由样本值得,下页,例8.调查某试验田30万苗（X）和35万苗(Y)两种密度稻田各5块，得产量(kg)的平均值和方差为：,解:此题是两正态总体方差未知，亦不知是否齐性的情况下对两总体均值差的检验.须先作方差齐性检验，再用 t 检验.,（1）假设,由样本值得,查表得,由于,所以接
12、受H0,即认为方差是齐性的.,选统计量,下页,试问两种稻田的平均产量是否有显著差异？(=0.05),设,（2）假设 H0:1=2,所以接受H0，两种密度平均产量没有显著差异.,查表得,由于,选统计量,由样本值得,下页,3.杜鹃总是把蛋生在别的鸟巢中,现有从两种鸟巢中得到的杜鹃蛋共24 只,测量其长度.试鉴别杜鹃蛋的长度与它们被发现的鸟巢不同是否有关？（设两个样本来自同方差的正态总体）,练 习,1.据往年统计，某杏园中株产杏服从N（54，0.752），今年整枝施肥后，收获时任取10 株单收，算得平均株产量为56.22.如果方差不变，问今年株产量是否有显著提高？（=0.05）,2.某种内服药有使病
13、人血压增高的副作用,已知血压的增高服从均值0=22的正态分布,现研究出一种新药品,测试了10名服用新药病人的血压，算得其平均值为17.9,问能否得出副作用小的结论？,1.H0:=0（=54），H1：54，u 检验,2.H0:=0（=22），H1：22，t 检验,3.H0:1=2，H1：12，t 检验,下页,作业：162页 1,2,3,4,结束,要求：认真研读P144-155的内容！,概率论与数理统计,任课教师：孟宪勇,下页,(1)概率论的研究对象 随机现象的统计规律性,概率论与数理统计,-概率论,(2)随机现象是否有规律可言 大量次的重复试验，呈现出某种统计规律性,下页,概率论与数理统计,一、
14、随机试验,二、随机事件,.1 随机事件,第一章 事件与概率,三、事件间的关系与运算,下页,1.1 随机事件,E1：口袋中有编号分别为1,2,3,4,5,6的6个球，从中任取一球 观察其编号。E2：一个家庭有两个孩子，了解两个孩子的性别。E3：一批灯泡，从中任取一只，测试它的寿命。,一、随机试验 E,随机试验特点：,1.在相同的条件下试验可以重复地进行；,2.每次试验的可能结果不止一个，且能在试验之前明确试验的所有可能结果；,3.每次试验以前不能准确预言哪一个结果会出现。,下页,二、随机事件的概念,基本事件：试验的每个可能发生的基本结果,称为基本事件(或样本点),记为。,样本空间：所有基本事件组
15、成的集合，记为，即=。,随机事件：的一个子集。记为A、B、C等。,必然事件：；不可能事件：。,事件发生：当且仅当它包含的基本事件（样本点）之一发生。,下页,E2：一个家庭有两个孩子，了解两个孩子的性别。,2=男,男,女,女,男,女,女,男,E1:口袋中有编号分别为1,2,3,4,5,6的6个球，从中任取一球观察其编号。A=编号为偶数=2,4,6；B=编号为奇数=1,3,5；C=编号大于6=；D=编号不大于6。,解：E有四个基本事件：正，正,正，反,反，正,反，反,于是=正，正,正，反,反，正,反，反；,A=正，正；,C=正，正,正，反,反，正。,B=正，正，反，反；,例1.E：将一枚硬币抛两次
16、，观察正面反面出现的情况。写出E的样本空间以及事件A=两次都出现正面,B=两次出现同一面,C=出现正面包含的基本件事。,下页,10 子事件,三、事件间的关系与运算,20 和事件,30 积事件,40 差事件,50 互斥事件,60 对立事件,下页,例2.任取一件圆锥形产品，规定只有当产品的直径、高度和重量都合格时才算合格，否则就算不合格产品。若令A1=产品合格，A2=产品不合格，B1=直径合格，B2=直径不合格，C1=高度合格，C2=高度不合格，D1=重量合格，D2=重量不合格，请用它们表示下面的关系。,如：A=至少一粒发芽，B=至少20粒发芽，C=种子发芽,三、事件的关系与运算,下页,10 子事
17、件,若事件A发生必然导致事件B发生，则称或A是B的子事件.也称则称事件B包含事件A.,两个事件相等：若事件A,B互为子事件，则称它们相等，记作AB.,在例2中有，,可列个事件A1，A2，An，中至少有一个发生，记作 A1A2An,两个事件A、B中至少有一个发生的事件称为A与B的和事件，记为AB。,n个事件A1，A2，An中至少有一个事件发生,记作 A1 A2An,下页,20 和事件,在例2中有，A2=B2C2D2.,n个事件A1，A2，An同时发生的事件，记作 A1A2An=A1A2An。,可列个事件A1，A2，An，同时发生的事件，记作 A1A2An=A1A2An,性质：,A；AA。,下页,
18、30 积事件,两个事件A、B同时发生的事件称为A与B的积事件,记为AB.,在例2中有，A1=B1C1D1.,事件A发生而事件B不发生，称为A与B的差事件，记作 AB.,性质：,A-B=A-AB；,下页,40 差事件,在例2中有，B1-C1表示直径合格但高度不合格.,事件A与B不同时发生，称A与B互斥，或互不相容.,性质：,（1）一次试验中基本事件是互不相容；,（2）A-B，AB，B-A 两两互不相容.,如果一组事件中任意两个事件都互不相容，则称这组事件两两互不相容.,下页,50 互斥事件,在例2中有，,若两事件A,B满足，,AB=，A B=，,则称A与B互为对立逆事件。记为，,注：对立事件一定
19、是互斥事件；互斥事件未必是对立事件。,从而有，,显然，A不发生可记作,下页,60 对立事件,在例2中有，,问题：,随机事件的运算规律,幂等律:,交换律:,结合律:,分配律:,德摩根定律:,下页,例3.设A、B、C 为三个事件，则,(1)只有A发生可以表示为：,(5)A、B、C至多有一个发生：,(4)A、B、C 都发生：,(3)A、B、C 中至少有一个发生可以表示为：,ABC,A、B、C不都发生：,A、B、C都不发生：,(6)A发生，B、C 至少有一个不发生可以表示为：,(2)A、B、C 中恰有一个发生可表示为：,下页,作业：22页 3,结束,1.2 概率的定义,一、频率,三、概率的性质,二、概
20、率的统计定义,下页,一、频率,1.随机事件的发生可能性有大小之分,投一枚均匀的骰子，考察下列事件发生的可能性大小 出现点数；出现偶数点。,频率的定义：如果在 n 次重复试验中事件A发生了r 次，则称比值 r/n 为事件A在 n 次试验中发生的频率，记为fn(A)。,即 fn(A),2.随机事件的发生频率在某种意义反应了事件发生 的可能性大小,下页,一、频率,大量次的观察发现，事件发生的频率具有稳定性,3.频率具有稳定性,例1.抛一枚硬币,观察事件“正面向上”发生的规律,下页,二、概率的统计定义,定义1 在不变的一组条件下，重复进行n次（大量）试验，随机事件A在大量重复试验中发生的频率的稳定值
21、p 称为随机事件A的概率，记为P(A)，即P(A)=p.,频率的性质：,.0fn(A)1;.fn()=1,.若A1，A2，An 是两两互不相容的事件，则,概率有哪些性质？先考察一下频率的性质,下页,三、概率的一般定义与性质,1.概率的一般(公理化)定义,定义2 设E是随机试验，是它的样本空间。对于E的每一事件A对应于一个实数P(A),称P(A)为事件A的概率。若P(A)满足下列三个条件：(1)0P(A)1;(2)P()=1;(3)对于两两互不相容的可数个事件A1，A2，有,以上三个条件分别称为概率的非负性、规范性及可加性。利用概率的定义可以推出概率的一些重要性质。,下页,三、概率的一般定义与性
22、质,性质1 P()=0,2.概率性质,证明：令An=(n=1,2,)，则=A1A2，且AiAj=(ij，i,j=1,2,),由可列可加性有P()=P(A1A2)=P(A1)+P(A2)+=P()+P()+,再由P()0得，P()=0。,下页,三、概率的一般定义与性质,性质2 若A1,A2,An,是两两互不相容的事件，则有P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An)。,2.概率性质,证明：令An+1=An+2=，即有AiAj=(ij，i,j=1,2,),由可列可加性有P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An)+P()+=P(A1)+P(A2)+P(An)。,下页,三、概率的
23、一般定义与性质,2.概率性质,。,下页,三、概率的一般定义与性质,则 P(BA)=P(B)P(A),证明：由于 B=A(BA)且A(BA)=P(B)=P(A)+P(BA)于是 P(BA)=P(B)P(A),推论(B-A)=P(B)-P(AB),推论 若，则P(B)P(A),下页,性质5 设任意两个事件A、B，则 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)。,证明:由右图1可知 AB=A(BAB)且,由概率可加性及性质4得P(AB)=P(A)+P(BAB)=P(A)+P(B)P(AB）,A(BAB)=，AB,推论 1 P(AB）P(A)+P(B),推论2 设随机事件A1，A2，A3，则,A1,A2,A3,下页,三、概率的一般定义与性质,推论3 设A1，A2，An 是 n 个随机事件，则,下页,三、概率的一般定义与性质,例1.求证,证明:由于,且 与 互不相容，于是,下页,例2.设A、B为两个随机事件,且P(A)=p,P(B)=q,P(AB)=r,求下列各事件的概率：,(2),(3),解:(1),下页,解：,例3.已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,求A,B,C都不发生的概率。,下页,作业：23页 4，5,结束,
