概率论与数理统计JA.ppt

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1、第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望 2 方差 3 几种重要随机变量的数学 期望和方差 4 协方差及相关系数 5 矩,(1)去掉最高、低分的启示,算术平均数是最常用的技巧，平均数作为衡量标准科学合理吗？,班级有30个学生，其中两个学生数学考试只得2分和10分。此外，有5个学生得90分，22个得80分，1个得78分。此时该班数学成绩的平均分是：,确实，该结果不能反映多数人的真实状况(80分左右合理）。去掉一个最低分，总平均约是79.2分，去掉两个最低分，总平均则是81.7分。这似乎比较符合实际了。,第四章 随机变量的数字特征,演员竞赛：演员表演完后，先由10个（或若干个）评委亮分，裁判长总要

2、去掉最高分和最低分，再用其余的8个数据的平均值作为最后得分。,算术平均数有两个缺点：受异常值的影响；计算比较复杂（不能一眼看出）。,去掉最高分或最低分，有“弄虚作假”之嫌，不见得都合适。平均数就是中等水平-是不合适的。,上述30个学生的数学成绩中，总平均是76.67分。某同学得78分，超过平均数，似乎该是“中上”水平了，其实他是倒数第三名！,第四章 随机变量的数字特征,例:在体操比赛中，规定有四个裁判给一个运动员打分。例如：9.30，9.35，9.45，9.90(按顺序排列)给分是当中两项的平均值：9.4。这样给分规定，避免了过高分数9.90的影响，同时9.40分处于四个裁判分的中间位数，不偏

3、不倚，十分公正。,第四章 随机变量的数字特征,怎样刻划“中等水平”呢？-中位数。,例：上面的30个学生的数学成绩依大小排列后，第15位和16位都是80分，所以中位数是80分。那么78分低于此数，当然是中下水平无疑了。,众数也是常常使用的代表数，即数据中重复出现次数最多的那个数据。,比如，美国某厂职工的月工资数统计如下：月工资数（美元）得此工资的人数 10000 1（总经理）8000 2（副总经理）5000 2（助理）2000 5 1000 12 900 18 800 23 700 5 500 2,第四章 随机变量的数字特征,如何来选取该厂的月工资代表数呢？,经计算，平均值为1387美元，中位数

4、为900美元，众数为800美元。,工厂主为了显示本厂职工的收入高，用少数人的高工资来提高平均数，故采用1387美元。工会领导人则不同意，主张用众数800美元（职工中以拿每月800美元的人最多）。而税务官则希望取中位数，以便知道目前的所得税率会对该厂的多数职工有利还是不利，以便寻求对策。,第四章 随机变量的数字特征,(2)“伟大的”期望值,例如，一个体户有一笔资金，如经营西瓜，风险大但利润高（成功的概率为0.7，获利2000元）；如经营工艺品，风险小但获利小（95会赚，但利润为1000元）。,究竟该如何决策？于是计算期望值。若经营西瓜，期望值E1=0.7*2000=1400元。而经营工艺品为E2

5、=0.95*l000=950元。所以权衡下来，情愿“搏一记”，去经营西瓜，因它的期望值高。,第四章 随机变量的数字特征,再举一个用期望值进行决策的例子。,某投资者有10万元，有两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息。,买股票的收益取决于经济形势：形势好(获利40000元)、形势中等(获利10000元)、形势不好(损失20000元)。如果是存入银行(年利率为8)，即可得利息8000元。又设经济形势好、中、差的概率分别为30、50和20。,试问应选择哪一种方案？,第四章 随机变量的数字特征,下面给出采用期望标准的解法。,第四章 随机变量的数字特征,按最大收益原则，取期望收益高的方案，淘汰

6、期望收益低的方案，所以应采用购买股票的方案。,买股票和存银行的期望值分别为,第四章 随机变量的数字特征,设X 表示获利,它是离散型随机变量,分布律为,则获利的期望值为,数学期望的定义,随机变量函数的数学期望,数学期望的性质,1 数学期望,第四章 随机变量的数字特征,一、数学期望定义,1）离散型,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,设离散型随机变量X的分布律为：,若级数 绝对收敛，则称随机变量 X 的数学期望存在，记作 EX，,且,数学期望也称为均值。,2）连续型,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,设连续型随机变量X的概率密度为，,若积分 绝对收敛，则称积分的值为X的数学期望。,记

7、为,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,说 明,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,例2,例 3,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,此例说明了数学期望更完整地刻化了X 的均值状态。,设离散型随机变量 X 的分布律为：,设离散型随机变量X的分布律为：,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,例 4,甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出:,试问哪一个人的射击水平较高？,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,甲、乙击中的的平均环数为,因此，从平均环数上看，甲的射击水平要比乙的好,例 5,第四章 随机变量的数字特征,按规定，火车站每天8:009:00,9:0010:00都

8、恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立，其规律为：,(1)旅客8:00到站，求他侯车时间的数学期望。,(2)旅客8:20到站，求他侯车时间的数学期望。,1 数学期望,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,解：,X 10 30 50,1/6 3/6 2/6,(1)旅客8：00到达,（2）旅客8：20到达,X 的分布率为,X 的分布率为,X 10 30 50 70 90,3/6 2/6(1/6)(1/6)(3/6)(1/6)(2/6)(1/6),设旅客的候车时间为X（以分记）,二、随机变量函数的数学期望,定理 1：,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,设 Y=g

9、(X),g(x)是连续函数，,(2)若X 的概率密度为 f(x)，,（1）若 X 的分布率为,定理 2：,第四章 随机变量的数字特征,若(X,Y)是二维随机变量，,(1)若(X,Y)的分布律为,(2)若(X,Y)的概率密度为 f(x,y)，且,g(x,y)是二元连续函数，,1 数学期望,第四章 随机变量的数字特征,解：,例 6,设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴,y 轴和直线x+y+1=0所围成的区域。求EX，E(-3X+2Y)，EXY。,1 数学期望,第四章 随机变量的数字特征,例7 国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量 X（吨），X U2000,4000，每售出

10、这种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但销售不出而囤积在仓库，则每吨需浪费保养费1万元。问需要组织多少货源，才能使国家平均收益最大。,设 y 为预备出口的该商品的数量，则,用 Z 表示国家的收益（万元）,解：,1 数学期望,第四章 随机变量的数字特征,下面求 EZ，并求 y 使 EZ 达到最大 值，,即，组织3500吨此种商品是最佳的决策。,例8(续）,1 数学期望,三、数学期望的性质,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,例 8,第四章 随机变量的数字特征,对N个人进行验血，有两种方案：,（2）将采集的每个人的血分成两份，然后取其中的一份，按k个人一组混合后进行化验（设N是k的倍数），若

11、呈阴性反应，则认为k个人的血都是阴性反应，这时k个人的血只要化验一次；如果混合血液呈阳性反应，则需对k个人的另一份血液逐一进行化验，这时k个人的血要化验k+1次;,（1）对每人的血液逐个化验，共需 N 次化验；,假设所有人的血液呈阳性反应的概率都是p，且各次化验结果是相互独立的。,试说明适当选取 k 可使第二个方案减少化验次数。,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,解：设 X 表示第二个方案下的总化验次数，,表示第 i 个组的化验次数，则,例 8（续）,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,只要选 k 使,即,就可使第二个方案减少化验次数；,当q已知时，,第四章 随机变量的数字特征,

12、例如：当p=0.1，q=0.9时，可证明k=4可使最小；这时，,工作量将减少40%.,1 数学期望,就可使化验次数最少。,第四章 随机变量的数字特征,例9一民航送客载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以X表示停车的次数。求EX（设每个旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）。,解：,1 数学期望,第四章 随机变量的数字特征,例10 对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产品不合格，并结束抽样。若抽样到第 n 件仍未发现废品则认为这批产品合格。假设产品数量很大，抽查到废品的概率是 p，试求平均需抽查的件数。,解：,设X为停止检

13、查时，抽样的件数，,则 X 的可能取值为1,2,n，且,1 数学期望,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,第四章 随机变量的数字特征,例11 用某台机器生产某种产品，已知正品率随着该机器所用次数的增加而指数下降，即,假设每次生产100件产品，试求这台机器前10次生产中平均生产的正品总数。,解：,设X是前10次生产的产品中的正品数，并设,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,所以,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,某工厂的自动生产线加工的某零件的内径 X（单位：mm）服从 规定该零件的内径小于10 mm或大于12 mm时为不合格品，其余的情形为合格品。又已知该零件的销售利润 Y

14、 与 X 有如下关系：,思考题：,问零件的平均内径 取什么值时，销售一个零件的平均利润最大？,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,本节小结：,1）数学期望的定义。,2）随机变量函数的数学期望。,3）数学期望的性质。,上一节课内容复习,1）熟练掌握期望定义,会求随机变量函数的数学期望.（下面三组公式是本章最重要的基础公式）,设 Y=g(X),g(x)是连续函数，,2）掌握数学期望的性质,会用性质求期望,3）熟练掌握方差的定义和性质；,称 Y 是随机变量 X 的标准化了的随机变量。,则 EY=0,DY=1。,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,方差的定义 方差的性质 切比晓夫不等式,一、方

15、差的定义,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,在实际问题中常关心随机变量与均值的偏离程度，可用E|X-EX|，但不方便；所以通常用,设 X 是随机变量，若 存在，,来度量随机变量X与其均值EX的偏离程度。,称其为随机变量 X 的方差，记作 DX,或 Var(X)，即：,1）定义：,离散型：,连续型：,第四章 随机变量的数字特征,2）方差公式,注：方差描述了随机变量的取值与其均值的偏 离程度。,由此式还可得：,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,例1,甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出:,X：甲击中的环数；,Y：乙击中的环数；,试问哪一个人的射击水平较高？,2 方差,第四章 随机变量的

16、数字特征,例1（续）,解：,比较两个人击中的平均环数,甲击中的平均环数为,乙击中的平均环数为,由于,这表明乙的射击水平比甲稳定,因此，从平均环数上看，甲乙两人的射击水平是一样的，但两个人射击环数的方差分别为,二、方差的性质,第四章 随机变量的数字特征,证3）：,第四章 随机变量的数字特征,称 Y 是随机变量 X 的标准化了的随机变量。,则 EY=0,DY=1。,性质4）的证明将在后面给出。,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,例 14,解：,第四章 随机变量的数字特征,先求：,例 14（续）,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,则：,第四章 随机变量的数字特征,三、定理：（切比晓夫不等式）

17、,则对任意,设随机变量 X 有数学期望,证明：(只证 X 是连续型),例如：在上面不等式中，取，有：,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,这个不等式给出了随机变量X 的分布未知情况下，事件,的概率的一种估计方法。,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,例15,设种子的良种率为1/6，任选600粒，试用切比晓夫（Chebyshev）不等式估计：这600粒种子中良种所占比例与1/6之差的绝对值不超过0.02的概率。,解：,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,例16,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,例16（续）,2 方差,第四章 随机变量的数字特征,小结：1）方差的定义；2）方差的性质；3

18、）切比晓夫不等式。,第四章 随机变量的数字特征,3.几种重要随机变量的数学期望及方差,两点分布二项分布泊松分布均匀分布正态分布,第四章 随机变量的数字特征,2）二项分布,1）两点分布,3 几种期望与方差,方法1：,第四章 随机变量的数字特征,，,所以,方法1说明了二项分布与两点分布的关系。,即,3 几种期望与方差,3 几种期望与方差,第四章 随机变量的数字特征,方法2：,第四章 随机变量的数字特征,3 几种期望与方差,第四章 随机变量的数字特征,3 几种期望与方差,第四章 随机变量的数字特征,3）泊松分布,设 X 服从参数为 的泊松分布，,3 几种期望与方差,第四章 随机变量的数字特征,3 几

19、种期望与方差,第四章 随机变量的数字特征,4）均匀分布,3 几种期望与方差,第四章 随机变量的数字特征,5）正态分布,作变换,3 几种期望与方差,第四章 随机变量的数字特征,说明：,第四章 随机变量的数字特征,第四章 随机变量的数字特征,3 几种期望与方差,注意：在上一节用切比晓夫不等式估计概率有,因此，对于正态随机变量 X 来说，它的值落在区间,x,0,内几乎是肯定的。,第四章 随机变量的数字特征,3 几种期望与方差,要求：熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布的期望值和方差值。,4 协方差及相关系数,第四章 随机变量的数字特征,协方差的定义 协方差的性质 相关系数的定义 相关

20、系数的性质,4 协方差,第四章 随机变量的数字特征,一、协方差,称 Cov(X,Y)=E(X EX)(Y-EY)=E XY EX EY为随机变量 X,Y 的协方差.,Cov(X,X)=DX,称为随机变量 X,Y 的相关系数。,是一个无量纲的量；,1）协方差的定义,2）相关系数的定义,4 协方差,第四章 随机变量的数字特征,证明：,E XY=EX EY,所以,Cov(X,Y)=0.,由数学期望的性质:,定理：若X，Y 独立，则 X,Y 不相关。(反之，不然）,称 X,Y 不相关，,此时 Cov(X，Y)=0.,若X，Y 独立，,注意：若 E(X EX)(Y-EY),则X，Y一定相关，且 X，Y

21、一定不独立。,即 EXY-EXEY,二、协方差的性质,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X),2)Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)；,3)Cov(aX+bY,cZ)=acCov(X,Z)+bcCov(Y,Z);,5)X，Y不相关,COV(X,Y)=E(X EX)(Y-EY),三、相关系数的性质,证明：,令：,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,求a，b 使 e 达到最小。,令：,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,得：,第四章 随机变量的数字特征,第四章 随机变量的数字特征,即,由上式得:,4 协方差,现在证明：,由上面知此时,第四章

22、随机变量的数字特征,4 协方差,从而,所以,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,反之，若存在 使，,这时,故,则,故,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,说 明,X与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。,X 与 Y 不相关，但不一定相互独立。,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,例1,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,由上述知：,则：,例2,设(X，Y)服从二维正态分布，求：,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,令：,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,第四章 随机变量的数字特征,第四章 随机变量的数字特征,故,4 协方

23、差,例3,证明：,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,2）,则根据切比晓夫不等式有,3）,思考题：,1),第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,小结：,1）协方差的定义和性质；2）相关系数的定义性质；3）不相关的定义及等价条件；4）独立性与不相关性的关系；5）二维正态分布的不相关性与独立性等价。,5 矩,第四章 随机变量的数字特征,矩 二维正态分布的性质,一、矩的定义,5 矩,第四章 随机变量的数字特征,若 存在，称之为 X 的 k 阶中心矩。,若 存在，称之为 X 和 Y 的k+l阶混合中心矩。,所以 EX 是一阶原点矩，,DX 是二阶中心矩，,

24、协方差Cov(X，Y)是二阶混合中心矩。,第四章 随机变量的数字特征,5 矩,例1,第四章 随机变量的数字特征,第四章 随机变量的数字特征,5 矩,第四章 随机变量的数字特征,5 矩,第四章 随机变量的数字特征,5 矩,二、二维正态分布的性质,第四章 随机变量的数字特征,5 矩,服从一维正态分布。,二维正态分布。,相互独立,第四章 随机变量的数字特征,5 矩,例2,解：,第四章 随机变量的数字特征,5 矩,求随机变量 X 和 Y 的密度函数,(2)问 X 和 Y是否独立？为什么？,第四章 随机变量的数字特征,则,解：,由题意，不妨设二维随机变量,例3（续）,5 矩,第四章 随机变量的数字特征,

25、因此有,5 矩,且,例3（续）,第四章 随机变量的数字特征,5 矩,随机变量 X 和 Y 的相关系数,例3（续）,第四章 随机变量的数字特征,（2）由题设,例3（续）,5 矩,思考题：,第四章 随机变量的数字特征,5 矩,小结：1）矩的定义.2）二维正态分布的性质.,1 阐述了数学期望、方差的概念及背景，要掌握 它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学 期望和方差。2 要熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀 分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差。3 给出了切比晓夫不等式，要会用切比晓夫不等式 作简单的概率估计。4 引进了协方差、相关系数的概念，要掌握它们的 性质与计算。5 要掌握二维正态

26、随机变量的不相关与独立的等价 性。6 给出了矩，二维正态分布的性质。,第四章 小 结,第五章 大数定律及中心极限定理,1 大数定律,2 中心极限定理,第五章 大数定律及中心极限定理,1 大数定律,大数定律的定义切比晓夫大数定律贝努里大数定律辛钦大数定律,1 大数定律,第五章 大数定律及中心极限定理,问题：测量一个工件时，由于测量具有误差，为什么以各次的平均值来作为测量的结果？而且只要测量的次数足够多，总可以达到要求的精度？,我们把这问题给出数学表达：,这里反映了什么样的客观统计规律呢？,如果工件的真值为,1 大数定律,第五章 大数定律及中心极限定理,即大量测量值的算术平均值具有稳定性。,这就是

27、大数定律所阐述的。,测量的经验就是：,1 大数定律,第五章 大数定律及中心极限定理,定义1,若对任意,想想：数列的收敛性定义，比较数列与随机变量序列 收敛性的区别。,一、定义,第五章 大数定律及中心极限定理,定义2,对任意,1 大数定律,1 大数定律,第五章 大数定律及中心极限定理,定理1,回忆数列的性质，比较它们的相似和不同性。,1 大数定律,第五章 大数定律及中心极限定理,定理2,（切比晓夫大数定律）,且具有相同的数学,期望及方差，,1 大数定律,第五章 大数定律及中心极限定理,由切比晓夫不等式得：,证：,第五章 大数定律及中心极限定理,定理3（贝努里大数定律）(Bernoulli大数定律

28、),证：令,1 大数定律,第五章 大数定律及中心极限定理,由定理2有,1 大数定律,1 大数定律,第五章 大数定律及中心极限定理,注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。,定理4（辛钦大数定律）,且具有数学期望,思考：比较辛钦大数定律与切比晓夫大数定律条件的 差别及强弱。,第五章 大数定律及中心极限定理,2 中心极限定理,定义,独立同分布的中心极限定理,德莫佛-拉普拉斯定理,用频率估计概率时误差的估计,2 中心极限定理,第五章 大数定律及中心极限定理,一、定义,2 中心极限定理,第五章 大数定律及中心极限定理,定理1(列维-林德伯格定理）（Levy-Lindberg)（独 立同分布的中心极

29、限定理）,中心极限定理说明了正态分布的重要地位，它也是统计学中处理大样本时的重要工具。,二、中心极限定理,第五章 大数定律及中心极限定理,由定理1有结论成立。,定理2（德莫佛-拉普拉斯定理）,(De Moivre-Laplace),证明：由二项分布和两点分布的关系知,其中 相互独立且都服从于两点分布，且,2 中心极限定理,2 中心极限定理,第五章 大数定律及中心极限定理,推论：,说明：这个公式给出了n 较大时二项分布的概率 计算方法。,2 中心极限定理,第五章 大数定律及中心极限定理,例1,车间有200台车床，它们独立地工作着，开工率为0.6,开工时耗电各为2千瓦，问供电所至少要供给这个车间多

30、少电力才能以不低于99.9%的概率保证这个车间正常生产。,设至少要供给这个车间 r 千瓦电才能以99.9%的概率保证这个车间正常生产。由题意有,解：,记某时刻工作着的车床数为 X，,则 X B(200,0.6).,第五章 大数定律及中心极限定理,即供给282千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车间正常生产。,2 中心极限定理,第五章 大数定律及中心极限定理,用频率估计概率时误差的估计：,由上面的定理知,用这个关系式可解决许多计算问题。,2 中心极限定理,第五章 大数定律及中心极限定理,第一类问题是,第二类问题是,问最少应做多少次试验？,这时只需求满足下式的最小的 n,第三类问题是,2 中心极限

31、定理,第五章 大数定律及中心极限定理,例2,今从良种率为1/6的种子中任取6000粒，问能以0.99的概率保证在这6000粒种子中良种所占的比例与1/6的差的绝对值不超过多少？相应的良种粒数在哪个范围内？,解：,由德莫佛-拉普拉斯定理,第五章 大数定律及中心极限定理,故近似地有,2 中心极限定理,第五章 大数定律及中心极限定理,良种粒数 X 的范围为,2 中心极限定理,第五章 大数定律及中心极限定理,例3,系统由100个相互独立起作用的部件组成，每个部件的损坏率为0.1。系统要正常工作，至少有85个部件正常工作，求系统正常工作的概率。,解：,由德莫佛-拉普拉斯定理有,则 XB(100,0.1)

32、。,则整个系统能正常工作当且仅当,设X是损坏的部件数，,第五章 大数定律及中心极限定理,例4 一加法器同时收到20个噪声电压，,设它们是互相独立的随机变量，且都在区间(0,10)上服从均匀分布，记,2 中心极限定理,一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。,例5,解：,设最多可装 n 箱，保障不超载的概率大于0.977。,由中心极限定理有,第五章 大数定律及中心极限定理,2 中心极限定理,例5（续）,因此最多可装 98 箱，保障不超载

33、的概率大于0.977。,第五章 大数定律及中心极限定理,1)了解大数定律的意义和内容，理解贝努里、辛 钦大数定律，了解切比晓夫大数定律。,第五章 小 结,要求：,1)大数定律的定义，贝努里、辛钦大数定律，切比 晓夫大数定律；,主要内容：,2)中心极限定理的定义，独立同分布的中心极限 理和德莫佛-拉普拉斯定理及应用。,2)理解中心极限定理的含义及其客观背景，要掌 握独立同分布的中心极限定理和德莫佛-拉普拉 斯定理，会利用中心极限定理解决一般实际应 用问题。,第六章 参数估计,2 点估计,1 样本与统计量,3 估计量的评选标准,4 正态总体统计量的分布,5 置信区间,第六章 参数估计,总体 个体

34、样本 统计量,1 样本与统计量,1 样本与统计量,第六章 参数估计,一、总体和个体1）总体：研究对象的某项数量指标的值的全体。2）个体：总体中的每个元素为个体。,例如：某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体，每一个灯泡的寿命是一个个体；某学校男生的身高的全体一个总体，每个男生的身高是一个个体。,由定义知：若 为X的一个样本，则 的联合分布函数为：,定义：设 X 是具有分布函数 F 的随机变量，若,是具有同一分布函数 F 的相互独立的随机变量，则称,为从总体X中得到的容量为n的简单随机样本，,简称为样本，其观察值,二、样本,1 样本与统计量,第六章 参数估计,若设X的概率密度为 f(x)，则 的联合概

35、率密度为：,若设X的分布律为，则 的联合分布律为：,例1,1 样本与统计量,第六章 参数估计,例2,解：,1 样本与统计量,第六章 参数估计,例3,解：,1 样本与统计量,第六章 参数估计,例4,解：,1 样本与统计量,第六章 参数估计,三、统计量,注：统计量是随机变量。,1）定义：设 为来自总体X的一个样本，g是的函数，且g中不含任何未知参数，则称,1 样本与统计量,第六章 参数估计,2）常用的统计量,样本均值,样本方差,1 样本与统计量,第六章 参数估计,证明：,1 样本与统计量,第六章 参数估计,它们的观察值分别为：,样本标准差,样本k 阶原点矩,样本k 阶中心矩,1 样本与统计量,第六

36、章 参数估计,分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本k 阶原点矩、样本k 阶中心矩的观察值。,统计量是样本的函数，它是一个随机变量，统计量的分布称为抽样分布。,1 样本与统计量,第六章 参数估计,则,3）结论：设为来自总体X 的一个样本，,请记熟此结论！,1 样本与统计量,第六章 参数估计,1 样本与统计量,第六章 参数估计,2 点估计,点估计矩法极大似然法,第六章 参数估计,第六章 参数估计,在数理统计学中，总体的分布是未知的。它包括两种情形：1）总体分布的类型是已知的，但其中包含未知参数。我们的任务就是通过样本来估计这些未知参数。这就是参数估计问题。2）总体分布的类型是未知的。我们的

37、任务就是通过样本来估计总体的分布。这就是非参数估计问题。我们这里只讨论参数估计问题。,2 点估计,例：,2 点估计,第六章 参数估计,一、点估计问题,2 点估计,第六章 参数估计,注意：,2 点估计,第六章 参数估计,二、矩估计法,2 点估计,第六章 参数估计,第六章 参数估计,2 点估计,这种估计量称为矩估计量；矩估计量的观察值称为矩估计值。,矩法原理：由辛钦大数定律知,2 点估计,第六章 参数估计,矩法求估计量的步骤：,2 点估计,第六章 参数估计,例 1 设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从,2 点估计,第六章 参数估计,例2,解：,2 点估计,第六章 参数估计,解得：,例2（续）,

38、2 点估计,第六章 参数估计,例3,2 点估计,第六章 参数估计,例4,2 点估计,第六章 参数估计,2 点估计,第六章 参数估计,例5,2 点估计,第六章 参数估计,例6,2 点估计,第六章 参数估计,例6(续）,2 点估计,第六章 参数估计,例6(续）,2 点估计,第六章 参数估计,三、极大似然法,例1,如果一个射手击中目标的概率可能是,现在让他打三发子弹，在不同的命中目标的次数下，我们应该如何取 p 的估计值,用 X 表示命中目标的次数，,则 X B(3,p),即,计算结果列表如下：,2 点估计,第六章 参数估计,由实际推断原理知，,例1（续）,2 点估计,第六章 参数估计,因此，由上表

39、可得下面的结论：,打三发命中次数 x=1 时，命中率 p 的合理估计,打三发命中次数 x=2 时，命中率 p 的合理估计,打三发命中次数 x=3 时，命中率 p 的合理估计,例1（续）,2 点估计,第六章 参数估计,2 点估计,第六章 参数估计,极大似然法原理：,2 点估计,第六章 参数估计,2 点估计,第六章 参数估计,2 点估计,第六章 参数估计,-对数似然方程,-似然方程,2 点估计,第六章 参数估计,-对数似然方程组,-似然方程组,2 点估计,第六章 参数估计,极大似然法求估计量的步骤：(一般情况下),说明：若似然方程（组）无解，或似然函数不可导，此法失效，改用其它方法。,2 点估计,

40、第六章 参数估计,试求参数 p 的极大似然估计量。,故似然函数为,例2,2 点估计,第六章 参数估计,-它与矩估计量是相同的。,例2（续）,2 点估计,第六章 参数估计,例3,2 点估计,第六章 参数估计,例3（续）,2 点估计,第六章 参数估计,似然函数为：,例4,2 点估计,第六章 参数估计,例4（续）,2 点估计,第六章 参数估计,例5,2 点估计,第六章 参数估计,例5（续）,2 点估计,第六章 参数估计,X 的概率密度为：,例6,分析：,似然函数为,但这不能说明不存在极大似然估计量，只是不能由似然方程组求解。,显然，似然方程组无解，,2 点估计,第六章 参数估计,解：,例6（续）,则

41、,2 点估计,第六章 参数估计,例6（续）,2 点估计,第六章 参数估计,设罐中装有 a 只黑球 b 只白球，则,例7 一个罐子里装有黑球和白球，有放回地抽取 n 个球，发现有 k 个黑球。试求罐子里黑球数与白球数之比 R 的极大似然估计量。,解：,2 点估计,第六章 参数估计,2 点估计,第六章 参数估计,极大似然估计性质：,2 点估计,第六章 参数估计,例8,解：,2 点估计,第六章 参数估计,第六章 参数估计,3 估计量的的评选标准,无偏性 有效性 一致性,第六章 参数估计,3 估计标准,我们注意到，在上一节中对于同一个未知参数，用不同方法可以得到不同的估计量。究竟采用哪个为好呢？这就涉

42、及到用什么标准来评价估计量的问题。我们介绍三个常用的标准：1）无偏性；2）有效性；3）一致性。,第六章 参数估计,3 估计标准,一、无偏性,例1,第六章 参数估计,3 估计标准,第六章 参数估计,3估计标准,例2,第六章 参数估计,3 估计标准,例3,解：,在上一节我们知道,第六章 参数估计,3 估计标准,第六章 参数估计,3 估计标准,例4,第六章 参数估计,3 估计标准,说明：,第六章 参数估计,3 估计标准,二、有效性,例5,第六章 参数估计,3 估计标准,第六章 参数估计,3 估计标准,第六章 参数估计,3 估计标准,例6,第六章 参数估计,3 估计标准,第六章 参数估计,3 估计标准

43、,例6（续）,第六章 参数估计,3 估计标准,三、一致性,例7,第六章 参数估计,3 估计标准,例7（续）,第六章 参数估计,3 估计标准,例8,证:,由辛钦大数定律知,第六章 参数估计,4 正态总体统计量的分布,正态总体的样本均值与样本方差的分布,4 正态总体统计量的分布,第六章 参数估计,证明：,4 正态总体统计量的分布,第六章 参数估计,4 正态总体统计量的分布,第六章 参数估计,4 正态总体统计量的分布,第六章 参数估计,4 正态总体统计量的分布,第六章 参数估计,4 正态总体统计量的分布,第六章 参数估计,4 正态总体统计量的分布,第六章 参数估计,4 正态总体统计量的分布,第六章

44、参数估计,4 正态总体统计量的分布,第六章 参数估计,例1,解：,例2,4 正态总体统计量的分布,第六章 参数估计,例3,4 正态总体统计量的分布,第六章 参数估计,例4,例5,4 正态总体统计量的分布,第六章 参数估计,定理：,4 正态总体统计量的分布,第六章 参数估计,抽样分布,4 正态总体统计量的分布,第六章 参数估计,例6,例7,4 正态总体统计量的分布,第六章 参数估计,例8,解：,4 正态总体统计量的分布,第六章 参数估计,四、正态总体的样本均值与样本方差的分布：,定理1,4 正态总体统计量的分布,第六章 参数估计,例9,（1）,（2）,4 正态总体统计量的分布,第六章 参数估计,

45、例9（续）,（3）,4 正态总体统计量的分布,第六章 参数估计,（4）,例9（续）,4 正态总体统计量的分布,第六章 参数估计,（5）,例9（续）,4 正态总体统计量的分布,第六章 参数估计,定理2,且它们独立。,则由t-分布的定义：,证明：,4 正态总体统计量的分布,第六章 参数估计,则有：,定理3,4 正态总体统计量的分布,第六章 参数估计,证明：,所以,4 正态总体统计量的分布,第六章 参数估计,4 正态总体统计量的分布,第六章 参数估计,例10,4 正态总体统计量的分布,第六章 参数估计,定理4,4 正态总体统计量的分布,第六章 参数估计,第六章 样本及抽样分布,抽样分布,例12,第六

46、章 样本及抽样分布,抽样分布,例12（续）,第六章 样本及抽样分布,抽样分布,例12（续）,第六章 样本及抽样分布,抽样分布,例12（续）,第六章 样本及抽样分布,抽样分布,例12（续）,第六章 参数估计,5 置信区间,置信区间与置信度,一个正态总体未知参数的置信区间,两个正态总体中未知参数的置信区间,第六章 参数估计,5 置信区间,区间估计就是根据样本给出未知参数的一个范围，并希望知道这个范围包含该参数的可信程度。,一、置信区间与置信度,定义：,通常，采用95%的置信度，有时也取99%或90%.,第六章 参数估计,5 置信区间,例1,则,即,则,第六章 参数估计,5 置信区间,求置信区间的步

47、骤：,第六章 参数估计,5 置信区间,1）均值的区间估计,(1)方差已知时，估计均值,二、一个正态总体未知参数的置信区间,第六章 参数估计,5 置信区间,即：,第六章 参数估计,5 置信区间,推得，随机区间：,第六章 参数估计,5 置信区间,说明：,（1）置信区间不唯一，在置信度固定的条件下，置信区间越短，估计精度越高。,（2）在置信度固定的条件下，n 越大，置信区间越短，估计精度越高。,（3）在样本量 n 固定时，置信度越大，置信区间越长，估计精度越低。,第六章 参数估计,5 置信区间,例2 已知幼儿身高服从正态分布，现从56岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：115,120,131,

48、115,109,115,115,105,110（cm）;,第六章 参数估计,5 置信区间,(2)方差未知时，估计均值,第六章 参数估计,5 置信区间,由此得：,推得，置信区间为,第六章 参数估计,5 置信区间,例3 用仪器测量温度，重复测量7次，测得温度分别为：120,113.4,111.2,114.5,112.0,112.9,113.6度;设温度,第六章 参数估计,5 置信区间,2）方差的区间估计,第六章 参数估计,5 置信区间,由此得：,这就是说，置信区间为：,第六章 参数估计,5 置信区间,例4 设某机床加工的零件长度,今抽查16个零件，测得长度（单位：mm）如下：,12.15,12.1

49、2,12.01,12.08,12.09,12.16,12.03,12.01,12.06,12.13,12.07,12.11,12.08,12.01,12.03,12.06,在置信度为95%时，试求总体方差 的置信区间.,第六章 参数估计,5 置信区间,一个正态总体未知参数的置信区间,三、两个正态总体中未知参数的置信区间,第六章 参数估计,5 置信区间,两个正态总体未知参数的置信区间（一）,两个正态总体未知参数的置信区间（二）,例5,第六章 参数估计,5 置信区间,由,有,第六章 参数估计,5 置信区间,第六章 参数估计,5 置信区间,例6,第六章 参数估计,5 置信区间,取,第六章 参数估计,

50、5 置信区间,第六章 参数估计,5 置信区间,四、（0-1）分布参数的置信区间,由中心极限定理知,近似服从,于是有,第六章 参数估计,5 置信区间,而不等式,等价于,记,第六章 参数估计,5 置信区间,此处,例7 设在一大批产品中抽取100个产品，得一级品60个，求这批产品一级品率p的置信度0.95的置信区间。,解:,一级品率p是（0-1）分布的参数，此处 n=100，,第六章 参数估计,5 置信区间,于是,故得 p 的置信度0.95的置信区间为（0.50,0.69）。,第六章 参数估计,5 置信区间,五、单侧置信区间,定义：,第六章 参数估计,5 置信区间,例8 对于正态总体 均值的单侧区间