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1、第2章 误差分析和数据处理,在做测量实验之后，不可缺少地要对测量所得数据进行处理和做误差分析。所以，测量实验人员必须了解和掌握：如何对测量数据进行整理、统计、计算或绘制曲线；并且能够对测量误差做出分析，了解误差的原因和特性，评定数据的可靠度，确定测量误差的正确表示法等。2.1 误差的表示法2.1.1 误差基本表示法,(1)绝对误差设对一个A量进行测量，其真实值为A0，而测量值为AX，则测量的绝对误差的定义为：(2)相对误差绝对误差与标准值之比的百分数被定义为相对误差，即,2.1.2 仪表的误差表示法表头的固有误差实际改用“满度相对误差m”来表示，其定义如下：测量误差和满度相对误差的关系式：2.
2、2 误差的来源和分类2.2.1 误差的来源,误差的主要来源有：(1)仪器误差仪器误差是由于仪器本身的电器和机械性能不完善所产生的误差。(2)使用误差使用误差是指人们在使用仪器的过程中出现的误差。(3)环境影响误差环境影响误差是指测量过程受到温度、湿度、电磁场、机械振动、声、光等的影响所造成的误差。,(4)方法误差方法误差是指使用的测量方法不完善或理论不严密所造成的误差。2.2.2 误差的分类(1)粗大误差粗大误差是由于测量人员的粗心或测量条件发生突变引入的误差。(2)系统误差系统误差是由仪器的固有误差、测量工作条件、人员的技能等整个测量系统引入的有规律的误差。,(3)随机误差随机误差又称为偶然
3、误差。在相同的条件下，多次重复测量同一个量，各次测量的误差时大时小、时正时负，杂乱地变化，这就是随机误差。2.2.3 评定测量结果(1)准确度它说明测量值与真实值的接近程度，反映出系统误差的大小。一般地，准确度是事物与要达到的效果的吻合程度。,(2)精密度它一般是指某事物的完善、精致和细密程度。说一个仪表很精密，是指它的设计和构造精巧、严密和考虑周到。精密度和准确度有相对的独立性。(3)精确度它是精密度和准确度的总称，表示既精密又准确。2.3 系统误差2.3.1 削弱误差的方法举例,(1)零示法它是一种比较测量法。,图2.3.1 简单零示比较法,(2)替代法替代法又称为置换法。(3)交换法它是
4、一种消除系统误差的简易方法。,图2.3.2 替代比较法,当电桥平衡时，被测电阻为：设第一次和第二次测量的读数分别是R31和R32，则可得两次的被测电阻计算值分别为：把上面两结果相乘，然后再开方，即得出已经消除比率误差的结果，即(4)补偿法,它是一种部分替代法。,图2.3.3 补偿法原理,(5)微差法它是一种不彻底的零示法。于是，有电压等式：,图2.3.4 简单的微差法,从式(2.3.4)可得出测量的绝对误差等式，即注意，这式只用“+”号，没有“-”号，因为它是边界误差，即最坏误差。也可得出测量的相对误差，即把它们代入式(2.3.6)，即得测量误差：,图2.3.5 微差法测频率,应用式(2.3.
5、4)和式(2.3.6)，现在的测量值为：测量误差为：测量误差：,2.3.2 误差的合成现在导出误差合成的公式：设分量的量值是x1，x2，xn，而主量值是 y，函数关系式是：全微分公式是：,在增量相当小的情况下，可以用增量近似代替微分，从而得出绝对误差和相对误差的公式，即再利用数学等式,例2.3.1 已知计算电功率的公式是P=IV，又知电流I和电压V的测量误差等于I/I和V/V，求出功率计算值的误差。解 用式(2.3.14)得出绝对误差：,用式(2.3.15)或式(2.3.17)得出相对误差：这个相对误差可简写成：显然，这结果可扩大到多分量的乘积计算，即乘积的相对误差等于各分量的相对误差之和。例
6、如，使用公式P=I 2 R的合成误差，可以写为：,2.最佳测量方案选择例2.5 用电阻表、电压表、电流表的组合来测量电阻消耗的功率，已知电阻的阻值R，电阻上的电压V，流过电阻的电流I，其相对误差分别为R=2%，V=2%，I=3%，试确定最佳测量方案。解 有三种测量方法，即P=UI、P=U2/R、P=I2R，现分别计算每种方案的最大测量误差。(1)P=UI：,（2）P=U2/R 分数求导公式得：（3）P=I2R：,例2.3.2 已知两个电阻串联和并联的总阻公式分别为：请读者自己证明：它们的合成误差分别为：例2.3.3 设函数式是y=x1-x2，求y的合成误差。,解 用公式(2.3.15)即得：注
7、意，上式必须改写成误差等式，即一般用下式计算合成总误差，即2.3.3 误差的分配,例2.3.4 设计一个普通直流电桥。要求电桥的测量准确度为0.1%，将误差等分给桥路电阻。问电阻的误差应该是多少？解 已知电桥平衡公式是 是比率臂，R3是标准电阻)。从而知道合成误差x=1+2+3=0.1%。所以得1=2=3=0.033%。例2.3.5 设定两电阻串联和并联的总阻的误差不大于2%，又规定两电阻有同等的误,差级别。问这误差级别是多大时总阻误差才不会超过2%？解 利用例题(2.3.2)的式(2.3.23)，令其中R1=R2，即得R1=R2=2%。例2.3.6 设 y 和x1，x2，x3的函数关系如下，
8、问应怎样分配误差？解 误差合成公式为：2.4 随机误差,概率学将事物出现的随机现象称为随机事件，将随机变化的量称为随机变量。在测量实践中出现的随机误差就是一种随机 变量。2.4.1 随机变量的平均值和方差设有一个离散随机变量x，其可能的量值是x1，x2，这些值出现的概率分别为p(x1)，p(x2)，。如果重复测量的次数N非常大，则可望x1值出现Np(x1)次，x2值出现Np(x2)次，。于是，即可写出这些量值的平均值为：,依据式(2.4.1)，可得连续变量的平均值，即当x0时，式(2.4.2)变成：一般情况，设变量g(x)是变量x的函数，则有平均值公式：,方差公式：2.4.2 误差的正态分布正
9、态分布也就是高斯概率密度，是极为重要的函数。正态分布具有两大特点：一是正和负误差出现的概率相等，即概率分布曲线左右对称；二是大误差出现的概率小，小误差出现的概率大，概率分布曲线呈现“钟”形。随机误差(变量)的正态分布的函,数式如下：现在把=(x-m)代入式(2.4.6)，即得测量值x的概率分布函数式如下：实际去积分概率密度函数(查积分表)即可证明有：,图2.4.1 随机误差的概率密度曲线,图2.4.2 测量值的概率密度曲线,现在求误差落在3范围内的概率值：从式(2.4.6)可得所要概率，即2.4.3 n次测量值的平均值最小二乘法理论：一组n次测量数据x1，x2，xn对参数a的偏差的平方和等于最
10、小的时候，这时的a最接近被测真值。即函数为：,经过演算最后可得出：2.4.4 关于标准偏差的几个重要定理(1)变量之和的方差等于各变量的方差之和x的方差等式：,(2)Kx的标准偏差等于K倍x的标准偏差(标偏Kx=K标偏(x)(3)若标偏(x)=，则标偏(标偏是标准偏差的简称)推导如下：,由定理(3)可知：把它代入前式，即可解出方差：结果得标偏公式：,上式根号中的分子可展开成：所以，式(2.4.20)也可写成：例对某一电压做精确测量。重复测量10次，各次的量值xi登记在下表中。设系统误差很小，可忽略。估算出这电压变量的离,散度()和10个量值的平均值的离散度。,解 电压变量的离散度为：平均值变量
11、的离散度为：2.4.5 测量结果的表示法和置信度用类似系统误差的表示法来表示随机误差，将测量结果表示成形式：。是n次量值的平均值，是 的边界误差。合理选用的边界误差为：,应用这种表示法，可写出例题(2.4.1)的测量结果是：置信度是边界内偏差的概率值。这个概率可以写成如下等式：2.5 测量数据的处理,数据处理就是对测量数据进行处理，得出被测量的最佳结果，并确定其误差边界，分析和整理出科学结论，还要用一定的形式加以表述，必要时，需要将数据绘制成曲线，或归纳成经验公式。2.5.1 有效数字的处理(1)有效数字的定义定义n位有效数字：一个n位有效数字前(n-1)位是准确可靠的，而末尾一位是欠准的估计
12、数。即是说，由(n-1)位准确数和1位欠准数组成n位有效数字。一般规定末位欠准数,的误差不超过0.5。有效数的位数与小数点无关，尾数是零也要写出。例如，0.045是两位有效数；20.5和6.00都是三位有效数。很大和很小的数可用10的乘幂表示，2.80106和28.010-6都是三位有效数。在读取数据时，有效数位应与测量误差 一致。(2)四舍五入法在处理测量数据中，常有一些数字的数位多于所需的有效位，而要删除多余的数位。,这时，可采用传统的四舍五入法来删除多余的数字位。四舍五入法的舍入规则是：所要的n位有效数之后的数位是多余位。多余位的前面第一个数如果是4、3、2、1、0，则舍去全部多余位；如
13、果是5、6、7、8、9，则在舍去全部多余位之后，还必须进位，在有效数的欠准位上加1。(3)一个补充规则(4)有效数字的加减运算,有效数字的加减运算必须对齐各数字的小数点。(5)乘除、开方和对数的运算2.5.2 绘制曲线,根据测量数据绘制曲线图，必须注意下列要点：坐标分度数值的稀密要恰当，应与仪表的分辨力吻合。若分度值太细，就夸大了测量的精确度；太粗就会影响原有精度，增加制图误差。纵、横坐标比例不必取得一样，根据具体情况而定。除了等分的线性坐标之外，也常用非线性的对数坐标。在曲线弯曲变化快和曲线陡峭的地方，数据点必须取得密一些。在曲线的峰值和谷值处，应该取得峰值和谷值的数据，并画出峰值和谷值点。,在实际测量中，由于随机误差的影响，数据出现分散性，如果直接把数据点连接起来，得不到一条光滑的曲线，而会成为折线或波动线。这时要设法对这些数据点进行平均化，使之变成一条光滑和均匀的曲线。简单的方法是：将数据点进行分组，估计出每组的几何中心，最后连接这些中心，使其成为曲线。连接曲线点的时候，还必须很好地进行手工圆滑和均匀，才能得出平滑曲线。,题图 2.8,
