电子透镜的像差.ppt

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1、电子光学,第五章 电子透镜的像差,（4）电子的密度不大，忽略了空间电荷影响；,（1）电磁场的严格旋转对称；,（2）电子满足近轴条件，即建立在求解高斯（旁轴）轨迹方程的基础上；,（3）电子的初速相同（没有能散）；,从前面的章节中，我们知道旋转对称电磁场对带电粒子具有聚焦成像的特性，由此可以构成圆电子透镜。,根据圆电子透镜结构和形式，以及轴上的电位和磁位分布可以定义不同形式的圆电子透镜。,根据旁轴轨迹方程可以得到圆电子透镜对带电粒子具有的理想聚焦成像性质。此时，得到的像是几何相似的，清晰的，原因是理想聚焦成像是建立在以下几个条件下：,5.1像差产生的原因和像差的分类,1像差产生的原因,由于电极加工

2、和装配的不对称破坏了旋转对称条件；,但实际情况下，上述的假设条件是不能满足的，如：,（1）旁轴条件的不满足。,要达到旁轴轨迹的条件，需要限制光阑孔来保证旁轴条件，但是，需要一定的粒子束流密度时，则需要较大的孔径保证，这时电子运动可能不满足旁轴条件；,（2）过小的光阑孔会发生衍射现象；,（3）旋转对称条件的不满足。,（4）初始条件能量和加速能量一致性的不满足。,由于初始速度分散和电源的不稳定破坏了能量的一致性等。,这些条件都破坏了旁轴轨迹方程的假设条件，由于与理想成像条件不一致，因此都可能引起图像的模糊，发生像的误差，这种相对于旁轴离子的理想成像的误差称为像差。,2像差的分类,（4）带电粒子的相

3、互库仑作用力，造成电子束的发散，也可能造成像差，这种 像差称为空间电荷像差；,像差产生的原因不同，可分为下列几类：,（1）由于破坏了电子运动的旁轴条件，引起的像差称为几何相差；,（2）由于电子或离子源发出的电子或离子不都具有单一速度或动能，会产生 初始动能分散；而且，加速电压的不稳定也会产生能量分散，这种由于 动能分散而引起的成像误差称为色差。,（3）由于旋转对称条件被破坏，材料的均匀性，加工和装配的不对称性，也 可引起的成像误差，这种误差称为机械像差；,（5）当限制膜孔很小，会产生衍射现象，这种像差称为衍射像差。,5-2几何像差,几何像差的定义,（1）电子束理想的高斯像,从上面的讨论中我们知

4、道，当电子满足旁轴轨迹时，我们认为电场和磁场的表示式中，,和,很快，可以忽略，利用一级近似，这时，电子在r方向的作用力与,的关系是线性关系，因此得到像放大率是一个线性放大率。,和,的高阶项是极小值，因此，它的高阶项收敛,关于,(2)电子束远离轴时的出现的像差,当电子远离轴时，电场和磁场的表示式中，关于,和,高阶项,就不是一个极小量，,方向的,作用力与,和,的关系就不是线性关系，而出现高次项，,如三次,方项、五次方项等。,高阶项收敛很慢，不能忽略，这时,此时，电子的作用力与近轴情况下的作用力表示式不同，即此时作用力不相等，如仍采用近轴条件表示，产生的误差太大，此时，电子不能会聚在一个点上，实际像

5、与理想像之间产生了偏差、放大或改变成其它形状的像，既产生了几何像差。,2.几何像差的数学表示,几何像差是实际轨迹与理想的高斯轨迹在同一电磁场，同样初值条件下发生的轨迹偏差。,定量的、横向的几何像差指的是电子在高斯像平面上，实际轨迹与高斯轨迹的数学误差，其数学表示形式为：,右端第一项,表示一般轨迹方程解；,第二项,是高斯轨迹方程之解；,因此，像差为两个条件下轨迹方程解的差，,即为：,和,，其中,表示像点的坐标。,实际轨迹的求解比较麻烦，一般采用数值方法。,电子光学理论研究中，像差计算一般采用级数的方式，利用逐次近似法理论，将几何像差分为三级像差、五级像差等形式，然后利用像差系数研究讨论像差的特性

6、。,下面我们从最小作用原理和折射率的定义出发，利用逐次近似理论推导出像差的表达形式。,我们已得到，电子光学的最小作用原理可以表示如下：,式中折射率可以表示为,在旋转对称磁场中，磁矢位只有方向角方向分量，即,故有磁矢位的两个分量式分别表示为：,折射率公式也可以写成为,如果将折射率公式按照,的幂次进行展开，可以写为如下形式：,旋转对称电场的电位表示式可以展开为,磁场的磁矢位表示式为：,将电位和磁位的展开时带入折射率公式，并将,、,、,和,项组合在一起，且考虑旋转对称性，因此，式中的奇次项都应为零，即,的同幂次,因此，展开时可以表示为,式中,其中,引入旋转坐标,旋转角为,在新坐标下,因此，最小作用原

7、理公式可以用下式表示,忽略掉高阶项，而且,那么上式成立应与欧拉方程等价，即,由于将,代入到欧拉方程中有,方程的左端即为高斯轨迹方程,因此，欧拉方程可以写为,式中,均为,，,，,和,的三次乘积项组成。,和,设实际的轨迹方程分为高斯轨迹和像差两部分，可以表示为：,式中：,和,是高斯轨迹；,和,是三级几何像差,它们将是,、,、,和,的三级量。,因为，,和,满足高斯轨迹方程，即代入欧拉方程后等于零，,因此，代入欧拉方程后，左端项剩下三级项构成的方程,式中右端项变量采用高斯轨迹的解,和,代替了,和,，这是因为,和,的三级项比高斯轨迹的三阶项小得多，,因此可以忽略掉。,上述方程是二阶线性非齐次方程；,其通

8、解可以由齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解相加得到，即线性组合。,齐次方程即为旁轴轨迹方程。,已知旁轴轨迹方程的特解可以表示为,和,，可以取其初始值为：,平行入射轨迹，高度设为1，在,处与轴相交：,；,从轴上入射轨迹，在,处成为平行于轴的轨迹：,；,式中,和,分别为限制膜孔和物平面的z坐标。代入解的形式,可以确定系数分别为：,因此有,在物平面和限制膜孔平面，三级象差为,因此，齐次解部分为零；非齐次方程的解可以采用参数变易法求解,3.参数变易法,参数变易法是解非齐次方程的一种通用而可靠的求特解的方法，它属于超降阶法的范畴。,假设有一个二阶齐次常微分方程，可以表示为,设,和,是方程的两个线性无关

9、的解,称为微分算符,那么，对于一个非齐次常微分方程,其解可以假设有如下对称形式的解形式：,其中,和,是待定的变系数，为了求出变系数，我们规定一些,约束条件来简化下面方程，选择约束条件为,这时，将特解微分2次后，代入非齐次微分方程,其中,+,由于 两个特解满足齐次方程，因此，下式成立,因此，方程可以化简为,该方程与约束方程联立求解，可以得到两个解的系数形式为：,式中,积分上式可得,带入方程中，有,将上述结果代入三级像差的方程中,根据拉格朗日亥姆霍兹定理,朗斯基行列式为,因此利用参数变易法可得,式中,为物平面处轴上电位，在高斯像平面,处，一个解为,那么，放大率为：,这时，在高斯像平面处，三级像差可

10、以表示为：,即,也可以写为,这时，式中,定义为四级光程函数，其梯度在,和,方向的分量即为三级象差。,将四级光程函数按,、,、,和,以及乘积形式归类，可以写成以下形式：,式中,、,、,、,都是,到,之间的定积分，,也称为三级几何像差系数。,将其代入三级几何像差表示式中，可以得到三级几何像差。几何像差系数中,、,、是电场引起的，因此称为各向同性像差系数，,、,、,、在没有磁场时为零，称为各向异性像差系数。,大写的A、,引入极坐标形式,，像差可以写成为,，,而不同的项，定义为不同的像差，如：球差、彗差、场曲、像散、畸变。,52几何像差的图像和定义,一般来说，几何像差是同时存在的，随着物点位置离轴的远

11、近和光阑孔经的不同，各项的比例不同,为了能够更为清晰的了解像差的定义，我们通常对像差的每一项，进行逐一的讨论。,1.球差,与系数B有关的项为球差。,当物点在轴上，透镜的入口光阑孔很大时，电子束张角很大，光阑孔的高阶项不能忽视，其中与光阑孔半径三次方有关的项，称为球差,（1）球差的数学表示形式,与球差系数,有关的项是,（2）球差的几何形状,固定,，改变,角，可以得到像平面处的像差图像，其是以高斯像点为中心的圆周,，圆周半径为,；,的变化范围从0,，这时，像差图像的直径随,增大，最后形成一个,为半径的模糊圆，即球差形成一个模糊圆，其半径为：,球差的另一种表示方法是利用物平面处粒子的束张角,来表示。

12、,定义,由于，在起始处轨迹的斜率为：,同理,因此，可以得到束张角,为：,那么，束半径与束张角的关系为：,因此，用束张角,表示的球差为：,(3)球差系数,如果将球差除放大率，定义为物方的球差：,那么，,称为物方球差系数。,这样，像方的模糊圆可以折算到物方的模糊圆半径为,，像方模糊圆半径为,根据海姆霍茨拉格朗日定理,因此，球差可以用像方的束散角表示为：,称为像方球差系数,(4)球差产生的原因,球差是一种重要的几何像差，球差产生的模糊圆使带电粒子束的清晰度受到了影响，降低了带电粒子束的分辨率。,球差产生的原因是由于远离轴的，或大倾角的电子束具有较小的轴向速度，,因而受到较大的聚焦作用，从而造成不同斜

13、率的带电粒子有不同的像平面，出现纵向球差。,另一个影响球差的原因是远离轴的电子所受到的作用力已不是正比于离轴距离，,在某一个S平面，模糊圆最小，相对清晰，常常可以取该平面为像平面。,因此远轴的电子与近轴的电子在轴上有不同的交点，其像点的位置不同，有些靠前，有些靠后，在高斯像平面处都形成一个弥散圆，,不同张角的弥散圆半径不同，没有一个清晰的像，,可以看出当物放在轴上一点时，几何像差只存在球差，因此只要电极尺寸准确，安装保证轴对称，球差实际是主要的像差。,为了减少球差可以采取以下措施：,(a)限制光阑孔径，但限制很小时，影响电子束流的大小，而且还会产生 衍射 像差,(b)提高加速电压，当电子能量很

14、高时，边缘效应的作用可以减弱，球差系数与 加速电压成反比；,(c)保证电子为近轴；,(d)缩小放大率，球差系数与放大率成正比，缩小放大率可以减小球差。,但是，从球差系中可以得到，在旋转对称场中，没有一种合适的圆透镜可以消除球差，谢尔赤定理证明了这一点,(5)谢尔赤定理,将球差系数进行部分积分可得,谢尔赤定理描述为：,(6)图像和像点选择,对应于最大束角,，或限制膜孔半径,，成像位置,，形成的纵向球差为：,在静的旋转对称、无空间电荷、且能成像的圆透镜中，球差系数恒大于零。,因此，完全消除球差只能采用非旋转对称场，或应用高频交变场，或在粒子通过区引入空间电荷,纵向球差正比于,，或,的平方，不同,的

15、电子有不同的球差，导致电子束,的包络有一个最小截面圆位置：,圆半径为,可以通过调节透镜的焦距，使靶面或样品与最小截面位置重合，这样球差计算的,公式就可以采用上式计算。,球差的一般计算公式,磁透镜电透镜,二慧差,当物点位于离轴的某一点P处，物的尺寸为,，这时与,有关的三次方项，应与,平方成正比，该项称为彗差。,(1)彗差表示式,当存在磁场与不存在磁场时，慧差可以分为各向同性慧差系数和各向异性慧差系数，只有慧差时，表示式为,慧差正比于光阑半径平方，物点离轴距离。只有各向同性慧差时，,(2)彗差的几何形状和图像,从上式可以看出，其几何形状是一个半径为,的圆周，圆心位置在x方向,偏离了2,，当,取不同

16、值时，,弥散圆的半径随着,变化，形成一系列不同半径、不同圆心的圆，,看上去像一个彗星的形状，其图形的范围角为60度张角,各向异性和各向同性同时存在时，随着,的变化，弥散圆图形是一倾斜的慧形，,倾角仍为60度,(3)彗差产生的原因,当从物点P1发出一条近轴轨迹1，其与轴相交于,点后，成像于Q1点，而离轴较远,的2和3轨迹受到较大的作用力，使其在,点前交于轴,和,点，这时在,像平面上分别形成两个圆环，半径分别为,和,，离轴的距离也不同,，分别为2,和2,，这样形成的一系列圆叠加起来，成彗星的拖,尾状，称为彗差,减小彗差的措施有：,（1）保证透镜电极的装配精度；,（2）缩小光阑孔径；,三场曲和像散,

17、（3）提高加速电压,当物点在轴外一点P，物点的尺寸为,，这时与,二次方有关的三次方,项构成的象差为场曲和像散。,(1)场曲表示式,这时，在高斯像平面上，上式可以表示为一个半径为,只存在场曲时，像差表示为,的弥散圆。,(2)场曲的图像,由物点P发出的一条射线，P点离z轴的距离为,，,正比于,正比于,，而同一物点发出的一束射线在高斯像平面以外的一点,相交，那么,点是清晰的，且在于高斯像平面相切的旋转曲面上，如果把荧光,屏做成一个弯曲面积可得到清晰像，这就是场曲的定义。,（3）场曲的曲率半径,在曲面接近轴的部分，清晰像点,点与高斯平面的距离,很小，近似地有,点离轴的距离,假设粒子轨迹为直线，有图中的

18、几何关系可知,zd,zb,zi,xd,利用两个近似三角形边成比例的关系，有,因为,因此有,则可得,因此，有,这是因为,1，而,因此，代入上述方程，可得清晰像,点与高斯像点的距离可以表示为,旋转曲面与轴相切的一点处，曲率半径为,(3)场曲产生的原因,场曲是由于离轴距离大的物点，其中心轨迹的倾斜造成物距和像距变化，即加长，像点偏离高斯像面，场曲正比于光栏半径及物点坐标的平方。,(4)像散的表示式,像散也正比于光阑半径及物点离轴距离平方，即像散和场曲是同时出现的。,像散可以表示为,上式可以看出，固定,，轨迹点在一个椭圆上，其方程为,(5)像散的图像,旋转方向，即y方向的半轴为,像散的模糊圆为一个椭圆

19、，子午面方向与弧矢面方向不再对称，,在高斯像点的半径方向，即x方向的半轴为,因而同一物点在高斯像面外也没有清晰点，在高斯像平面外一点,其x方向会聚，即在y方向（弧矢方向）是一条焦线，在另一点,y方向会聚，在x方向（子午方向）是一条焦线。在,和,之间，有一点,可以得到一个模糊圆，,、,和,在三个不同的曲面上，,弧矢曲面,分别为子午曲面,（在此曲面上，像点为半径方向焦线）；,（在此曲面上像点为旋转方向的焦线）；,平均像曲面,像点为模糊圆，当像散系数为零时，,、,和,曲面将重合为清晰像曲面，与纯场曲情形相似。,三个曲面的曲率半径为,如果各向异性像散不为零，像散仍为一个椭圆，,但椭圆的两个半轴相对于高

20、斯像点的半径方向旋转一个角度,(3)像散产生的原因,设想有从物点发出的与透镜系统的轴线成一定倾角的射线，,当与折射面相遇时，透镜内各点的等位面折射率不同，,因此，从不同方向进入的射线所受到的场的折射不一样，,这样在子午面和弧矢面上的射线通过透镜时，受到的透镜场作用不同,由P点发出的位于子午面的射线将会聚于T面上的一点，,而弧矢面内的射线，则会聚于S面上一点，,全部射线在高斯面上形成一个椭圆光斑，,如果物不是一个点，而是一个平面，,则所有子午射线将在曲面上T上成像，同样所有弧矢射线则在S曲面上成像,，于是，在T曲面或S曲面上都得不到清晰像，,即采用弯曲视面来消除像散以得到清晰的像，这种弯曲视场的

21、像差成为场曲。,是由于不同的射线在透镜面的折射率不同，,如子午面的射线投影于 T上是一点,只有把观察屏幕置于T和S之间的折中曲面D上才能得到清晰像，,在光学上称为这种像差为像散,如果采用适当的措施使S和T曲面重合，则像从圆变成了点，像散既消除了。,这样平面物就可以在D曲面上观察到清晰像，,由A点产生的一束射线，到达像平面时成为一个椭圆,弧矢平面内射线，投影于 S 平面上一点。,四畸变,(1)畸变的像差表示式,畸变包括各向同性畸变和各向异性畸变，当只有畸变时，表示式为,需指出的是场曲和像散是同时存在的，只有消除了像散以后才出现场曲。,在大物面成像时，此种像差比较显著。,为了在高斯像面上得到清晰的

22、电子像，实践中往往把物体做成为凹面，以弥补场曲的缺陷。,(2)畸变产生原因,他们之间的偏差与物点离轴距离的三次方有关，离轴距离越大偏差越大，,只是像不再是相似于物，有所失真。,当光阑较小时，畸变不受光阑孔影响，,从物点发出的射线均在高斯像平面上成为点像，,但此像点与理想像点不重合，,畸变只与物点的位置有关，而与物点处轨迹的斜率或通过光阑孔时位置无关,只存在畸变像差时，在高斯像平面上，仍有物点的清晰像，,在静电透镜中，畸变在高斯像点的半径方向，因而相当于放大率不是常数，,当,0时，,造成枕形畸变，,0时，,如果存在磁场，即存在各向异性畸变，磁场造成的畸变使图形旋转，位移与半径方向有一个夹角,造成

23、桶形畸变。,5-3色差,使电子产生的速度不一致，这时透镜的折射率作用不一致，产生象的偏差。,色差是由于带电粒子束能量分散而造成的聚焦成像误差。,1色差的数学表示式,利用旁轴轨迹方程,当在近轴情况下，电子的轴向速度一致时，透镜的折射率才是一样的，,但实际上，电子和离子源发出的电子和离子时，电子和离子由于初速的不一致，,造成初始能量有分散，,电极加速电压的起伏或波动，磁透镜绕组线圈的励磁电流的起伏或波动会造成电场和磁场的波动，,这种像差成为色差。,将式中电子能量与电极电压的变化表示为,或,将磁场励磁电流引起的变化表示为,或,这时，如果令复数坐标函数为,复数形式的旁轴轨迹方程为,将电位和磁感应强度的

24、表示式代入，可以得到存在色差时的轨迹方程，可以表示为：,再令,其中,为无色差时轨迹，,即,带入方程中,该式为二阶非齐次线性微分方程，其特解可以通过拉格朗日变系数法求得,上式是旋转坐标系内解，在实验室坐标系应有：,旋转角度为：,因此,而色差可以表示为,由于，考虑到高斯轨迹方程为,可得由于能量分散引起的色差为：,而,4.中心色差（像位色差）,式中,项为中心色差，或像位色差，而,称为中心色差系数。通过一定的变换可以,写为,中心色差是由于透镜对不同速度的电子，具有不同的焦距，使成像位置不同引起的色差，如：物点处在轴上，大部分电子会聚在高斯像面上的一点P1，而部分速度较低的电子，通过透镜的时间长，聚焦作

25、用强，焦距短，在高斯像面前会聚于轴上一点P2，P1-P2之间投影在高斯像面上既为一散射圆斑，形成了像差。,显然，中心色差与球差一样，它可导致成像的不清晰，模糊圆半径正比于光阑半径及能量分散，,中心色差系数始终为大于零的正值，因此也是不可消除的像差，谢尔赤描述为：在静的，旋转对称的，无空间电荷的成实像的圆透镜中，中心色差总是大于零，因而不能消除。,由于激磁电流的不稳定，引起附加的中心色差，,3.横向色差（放大色差）,物点在轴外时，存在比例失真的放大色差。对于不同的速度电子，透镜的成像放大率不同，如轴外一点P，发出的二个不同速度的电子，将有两个不同的焦点F1和F2，成像于P1和P2点，在P1和P2

26、点之间形成了一条长为P1-P2的模糊线，离轴远的轨迹，其放大率较大，离轴近轨迹，其放大率较小，形成了横向色差，P1-P2形成了像差的散射圆。,项称为横向色差或放大色差，而,称为横向放大系数。,只考虑电场变化引起的项为,当考虑激磁电流变化时，引起的附加项为,5.各向异性像差（转角像差）,在磁透镜中，像转角随电子的速度而不同，由此产生的像差，为转角像差。其系数为,，由转角色差引起的像差为,中心色差造成的像点变为模糊圆斑，放大色差造成的模糊圆斑中心位移，位移方向于半径方向相同。各向异性像差造成上述位移方向的倾斜，对半径的倾角为,5减小色差的措施,（3）提高电源的稳定度。,减小色差必须减小电子通过透镜

27、时的速度能散度，可以采用以下措施：,（1）采用工作温度低，发射率高的阴极，以减小初始速度；,（2）提高加速电压，增加电子速度，使电子速度的变化率相对减小；,研究电子的波动现象而建立的理论为波动电子光学，由波动电子光学发展起来的电子全息已成为当今科技世界中一个新的，非常有发展前景的领域。,下面从惠更斯-菲涅尔原理出发，对电子波动的圆孔光阑的夫琅和费衍射作简要介绍。,5-4衍射像差,前面讨论的电子光学像差的基本原理是建立在电子的粒子性假设上，把电子看成为质点，运用质点运动方程求解。,由于其类似几何光学，因此，其像差称为几何像差，但几何像差不能完全解释电子光学仪器的局限分辨率。,而电子在电磁场中传播

28、还具有另外一个特性-波动性。,由电子的波产生的衍射现象与波动光学一样，可以解释电子光学仪器的分辨率局限问题。,为,按照德布罗意假设，电子波的波长,式中,为普朗克常数，在非相对论情况下，则有,或,（纳米）,为电子的静止质量，,为规范化电位。当,时，,电子光学仪器的分辨率。,=0.0037纳米，可见电子波长比可见光短几个数量级，因而可大大提高,1.惠更斯-菲涅尔原理,根据惠更斯假说，波阵面上的每一个点均可看作产生球面子波次级波源，,后面任何时刻的波阵面都是由这些子波所形成的包络。,菲涅尔补充惠更斯假说，假定这些次级波相互干涉，则产生衍射现象。,如从点源,发出一个单色波，通过一个光阑孔，设孔径大于光

29、波波长，小于,以及待求点,到屏上的距离，到达,点的扰动光波为：（基尔霍夫）,2圆孔光阑的夫琅和费衍射,当平行电子束垂直通过一个圆孔光阑时，在光阑后面的屏幕上，出现明暗交叉的圆环条纹，这就是圆孔光阑的夫琅和费衍射想象。,由于旋转对称性，在夫琅和费衍射条件下，即衍射与圆孔的距离比圆孔直径大的多时，可直接应用菲涅尔-基尔霍夫公式,如下图，圆孔左边的平行电子束视为平面波：,在光阑平面上，即z=0处，,a为光阑孔径，在孔右边，任一点电子波函数是位于光阑平面处无数小面积元激励产生的次级球面波的叠加，所以在衍射屏某点的波函数为,式中,为次级波传播方向与z轴夹角。,半径为,衍射线为：,积分范围为膜孔。,在夫琅

30、和费衍射条件下，利用极坐标形式，可得波函数为：,P点的衍射相对幅度为：,利用贝塞尔函数积分表示式,振幅公式可以写成,利用贝塞尔函数的迭推公式,因此,衍射花样的强度分布，即电子束密度是电子波振幅的平方，,是强度最大值，,是一阶贝塞尔函数。衍射强度分布如下图所示。,设物点,和,成像于,和,点像，当存在衍射像差时，,和,不是点像而是衍射圆环，像平面,点的衍射强度应为：,，如果没有像差，一个物点产生一个理想的,有此可以看出，像点,的衍射图形是在中心,周围再有一些交替的圆环，而且亮环（极大值）的强度随半径增大而急剧下降，,分别为：,处有一个亮斑（最大值），,各暗环（极小值）的半径,上述两个相邻光斑,和,

31、的衍射图形的重叠便决定了分辨率。根据瑞利判据,的第一个强度极小值和相邻的像斑,两个像斑认为是可以分辨的，由此得到像面的最小分辨率为：,当像斑,的中心强度极大值重叠时，,我们知道,（考虑相对论）,结论,电子离子加速电压越高，波长越短，衍射限定的最小分辨距离越小。同一加速电压下，离子比电子具有更短波长，因而有更小分辨率。衍射限定的分辨率反比于粒子束角。由于球差和色差，电子离子光学仪器常采用很小的孔径角。因而，由衍射限定的分辨本领往往比粒子波长大得多，甚至大几个数量级。这是明显区别于光学透镜的。,如果球差为,一般分辨率有球差和衍射像差共同决定，通常将球差和衍射像差的平方根定义为衍射和球差所决定的理论分辨率,由此可以得到最佳的孔径角,分辨率的极小值为,