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观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,一、曲面的侧的概念,曲面的分类:,1.双侧曲面;,2.单侧曲面.,典型双侧曲面,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,播放,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,曲面法向量的指向决定曲面的侧.,决定了侧的曲面称为有向曲面.,曲面的投影问题:,二、第二类曲面积分的定义,实例:流向曲面一侧的流量.,1.分割,则该点流速为.,法向量为.,2.求和,3.取极限,存在条件:,组合形式:,物理意义:,性质:,三、计算法则,注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,解,四、两类曲面积分之间的联系,两类曲面积分之间的联系,解,六、小结,1、物理意义,2、计算时应注意以下两点,思考题,思考题解答,此时 的左侧为负侧，,而 的左侧为正侧.,
