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1、非线性奇异摄动控制系统理论的研究及应用,导 师：刘晓平 教授,答辩人：孟 博,博士论文答辩,论文主要内容,绪论,1,主要工作,2,结论与展望,3,奇异摄动理论的产生背景,电动机系统的机械时间常数是电路时间常数的10倍以上电路系统中的电容，电导，寄生电阻系统中的高增益控制器一些小的时间常数，惯量,广泛的工业背景：系统不同状态的变化速度不同，导致系统存 在奇异性和分别运动特性。,机器人系统，生物系统，通讯网络，化学变化等等,第一章 绪 论,第一章 绪 论,奇异摄动理论的研究意义,早期的处理方法：简单地忽略快变模态从而降低系统的阶数,产生问题：系统高频动态缺失 相对与原系统性能的奇异性 基于简化模型
2、设计的控制器效果与设计要求相距甚远 造成系统的不稳定,令摄动参数为零,第一章 绪 论,有效的处理奇异摄动问题的工具：,奇异摄动理论,将系统分解为慢系统和边界层系统近似原系统的动力学行为,主要思想：忽略快变量降低系统阶数 引入边界层校正提高近似程度,奇异摄动理论两个时间尺度时标分解,控制理论快慢变量分开复合控制器,奇异摄动理论的研究概况,线性奇异摄动系统,稳定性研究,最优控制,鲁棒 控制,非线性奇异摄动系统,稳定性研究,优化控制,几何方法,第一章 绪 论,本文二三四章,快执行器驱动型,模糊、时滞系统,奇异摄动理论的应用,复杂系统分析,刚、柔性机器人,航天工程、电力系统,非线性系统,第一章 绪 论
3、,本文五六七章,本文的主要工作,非线性奇异摄动系统的反馈镇定非线性奇异摄动系统的L2增益干扰抑制非线性奇异摄动系统的半全局实用镇定基于奇异摄动理论的高增益观测器研究非仿射非线性系统的渐近稳定非仿射非线性系统的输出调节问题,系统本身控制器设计稳定性分析,应用性分析,非线性奇异摄动系统模型：,(2.1),令，系统(2.1)可化为,(2.2),(2.3),代数方程(2.3)有惟一孤立的实根,(2.4),第二章 非线性奇异摄动系统的反馈镇定,x慢状态z快状态,将(2.4)式代入到(2.2)式，得到系统的降阶模型,其中,(2.5),(2.6),由系统(2.1)所具有的形式，可以定义一个快时间刻度,(2.
4、7),第二章 非线性奇异摄动系统的反馈镇定,慢子系统,系统(2.5)是原系统的慢子系统。,在 时间尺度下，系统(2.1)具有如下形式,(2.8),同样令,有系统,(2.9),方程(2.9)是原系统的快子系统。,第二章 非线性奇异摄动系统的反馈镇定,快子系统,状态反馈控制器设计,考虑具有如下形式的控制律,(2.10),此时，系统(2.1)具有如下形式,(2.11),(2.12),慢控制器,复合控制器,第二章 非线性奇异摄动系统的反馈镇定,快控制器,其中快子系统为,(2.13),引进一个新的向量,其中,是闭环系统快动态的准稳定状态,即,(2.14),边界层系统,第二章 非线性奇异摄动系统的反馈镇定
5、,慢流形,定理 2.1 存在,使得对任意的,闭环系统是渐近稳定的。,考虑状态反馈,第二章 非线性奇异摄动系统的反馈镇定,仿真结果,系统最终控制律为,第二章 非线性奇异摄动系统的反馈镇定,图2.1:闭环系统的慢状态轨线,图2.2:闭环系统的快状态轨线,第二章 非线性奇异摄动系统的反馈镇定,图2.1:闭环系统的慢流形,第二章 非线性奇异摄动系统的反馈镇定,本章小结,设计闭环系统的复合控制律 构造闭环系统的复合Lyapunov函数 得到闭环系统渐近稳定的充分条件(摄动参数 上界表达式）,第二章 非线性奇异摄动系统的反馈镇定,讨论如下形式的奇异摄动系统,(3.1),考虑如下形式的控制律,(3.7),对
6、系统(3.1)进行标准的双时间刻度分解，得到快子系统为,第三章 非线性奇异摄动系统的L2增益干扰抑制,(3.10),边界层系统方程,慢系统通过适当的坐标变换化为如下形式,(3.12),第三章 非线性奇异摄动系统的L2增益干扰抑制,定理 3.1 对任意给定的正实数 和充分小的正数,存在状态反馈控制律,使得闭环系统对于所有 是内部稳定的,且从 满足小于 的增益。,选择第一个子系统的能量函数,求导可得,第三章 非线性奇异摄动系统的L2增益干扰抑制,上式化为,适当的选择正数,满足,则在假想控制律,作用下,有,第三章 非线性奇异摄动系统的L2增益干扰抑制,进一步选取能量函数,满足,当 时获得最终的控制律
7、,第三章 非线性奇异摄动系统的L2增益干扰抑制,构造整个系统的能量函数,复合能量函数求导,则系统满足 耗散不等式，当 时，系统满足渐近稳定条件，可作为Lyapunov函数。,第三章 非线性奇异摄动系统的L2增益干扰抑制,仿真分析,系统最终控制律为,系统满足耗散不等式,第三章 非线性奇异摄动系统的L2增益干扰抑制,图 3.1 慢状态的曲线,图 3.2 快状态的曲线,第三章 非线性奇异摄动系统的L2增益干扰抑制,图 3.3 增益曲线,第三章 非线性奇异摄动系统的L2增益干扰抑制,本章小结,研究了非线性奇异摄动系统的鲁棒 控制问题采用逆推法构造了 控制器和能量存储函数控制器设计不需要求解Hamilt
8、on-Jacobi方程,第三章 非线性奇异摄动系统的L2增益干扰抑制,不确定系统模型,考虑如下形式控制器,(4.10),(4.1),快子系统为,(4.11),(4.12),第四章 非线性奇异摄动系统的半全局实用镇定,慢子系统化为,(4.15),定理 4.1 考虑状态反馈控制器，其中,存在正实数,使得当 时，的轨线是半全局稳定的，的轨线是半全局实用稳定。,第四章 非线性奇异摄动系统的半全局实用镇定,取为,第四章 非线性奇异摄动系统的半全局实用镇定,仿真分析,快子系统为,第四章 非线性奇异摄动系统的半全局实用镇定,系统状态及控制律曲线,本章小结,非线性奇异摄动系统的半全局实用稳定 鲁棒控制器的设计
9、 复合Lyapunov函数的建立 系统各部分状态的稳定性分析,第四章 非线性奇异摄动系统的半全局实用镇定,讨论不确定非线性系统,(5.1),考虑静态反馈控制器,相应的输出反馈控制器取为,高增益观测器为,第五章 基于奇异摄动理论的高增益观测器研究,估计误差表示为,将闭环系统写为(),上式中令,系统退化为,(5.5),相应的快子系统为,第五章 基于奇异摄动理论的高增益观测器研究,快子系统,慢子系统,定理 5.1 如果慢子系统的原点是第一近似意义下渐近稳定的，那么基于观测器的输出反馈闭环系统(5.9)的原点是惟一渐近稳定的平衡点。,第五章 基于奇异摄动理论的高增益观测器研究,定义集合,集合 是吸引区
10、的一个正不变子集。,定理 5.2 系统轨线将在有限时间 内进入吸引区的正不变子集。,仿真结果,输出反馈控制器为,第五章 基于奇异摄动理论的高增益观测器研究,第五章 基于奇异摄动理论的高增益观测器研究,状态轨线,第五章 基于奇异摄动理论的高增益观测器研究,系统吸引区,本章小结,分析了基于高增益观测器的输出反馈控制器性能,结论：当增益足够高时，输出反馈控制器能够重现状态反馈控制器的性能。,平衡点稳定性；相似的吸引区,第五章 基于奇异摄动理论的高增益观测器研究,单输入非线性系统,选择参考系统,第六章 非仿射非线性系统的渐近稳定,(6.1),(6.2),令,解如下的动态方程,得到理想的动态逆控制，引入
11、快动态方程,进而得到指数稳定的闭环跟踪误差动态模型,第六章 非仿射非线性系统的渐近稳定,(6.3),(6.6),快子系统,慢子系统模型,第六章 非仿射非线性系统的渐近稳定,(6.7),定理 6.1 原点是闭环系统的惟一渐近稳定的平衡点。,定理 6.2 系统的状态轨线将在有限时间内进入不变集并最终实现渐 近稳定。,定义集合,是吸引区的一个正不变子集。,仿真分析,选择一个线性可控系统,控制律 所满足的方程,第六章 非仿射非线性系统的渐近稳定,正弦函数,第六章 非仿射非线性系统的渐近稳定,状态曲线,本章小结,奇异摄动理论结合动态逆的方法 给出了系统吸引区大小的一个估计 状态轨线进入不变集的时间,第六
12、章 非仿射非线性系统的渐近稳定,正不变子集,系统模型,理想的输出轨线由外系统产生,令,控制律表达式为,(7.1),(7.7),第七章 非仿射非线性系统的输出调节问题,(7.6),系统(7.1)的输出调节问题描述如下,的平衡点 是渐近稳定的。,闭环系统,对所有，闭环系统的状态轨线是有界的，且,第七章 非仿射非线性系统的输出调节问题,(7.8),(7.9),理想的动态逆控制通过解如下方程得到,进而得到指数稳定的误差方程,引入快动态方程,(7.14),第七章 非仿射非线性系统的输出调节问题,(7.12),快子系统,慢子系统,定理 7.1 原点是系统(7.5)的一个指数稳定的平衡点，且存在正常数和一个
13、，使得对于所有的,有如下等式,(7.15),对所有 一致成立。,第七章 非仿射非线性系统的输出调节问题,仿真分析,外部系统描述为,控制律 满足的方程为,第七章 非仿射非线性系统的输出调节问题,第七章 非仿射非线性系统的输出调节问题,输出及状态的跟踪曲线,将系统写为一般形式的奇异摄动系统,雅可比矩阵有如下形式,满足特征值条件,第七章 非仿射非线性系统的输出调节问题,定理 7.3 原点是系统的唯一渐近稳定的平衡点，下列等式,当 时成立，且,定理 7.4 系统轨线将在有限时间内进入不变集，最终实现渐近稳定。,第七章 非仿射非线性系统的输出调节问题,仿真分析,外系统为正弦曲线,控制律满足的方程,第七章
14、 非仿射非线性系统的输出调节问题,第七章 非仿射非线性系统的输出调节问题,输出及状态的跟踪曲线,基于Tikhonov理论 跟踪误差,本章小结,第七章 非仿射非线性系统的输出调节问题,基于Isidori理论 跟踪误差,以上结果可以推广到多输入系统中,结论与展望,第一部分 非线性奇异摄动系统的稳定性与鲁棒性研究,第二章 状态反馈镇定,第三章 鲁棒H控制,第四章 半全局镇定,控制器设计构造Lyapunov函数稳定性分析,第二部分 奇异摄动理论的在非线性系统中的应用,第五章 高增益输出反馈控制器的性能分析,第六、七章 在非仿射系统中的应用,渐近稳定输出调节,结 论,展 望,快子系统是非线性的慢子系统不具有最小相位,研究更一般类型系统,磁悬浮系统,有关时滞，不确定因素的影响,慢子系统中加入时滞 时滞相关,将所得理论结果应用于工程实践,请各位评委老师批评指正!,Thank you for your attention!,
