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1、,第4章 非线性方程求根的迭代法,本章重点介绍求解非线性方程 的几种常见和有效的数值方法.无论在理论上,还是在实际应用中,这些数值解法都是对经典的解析方法的突破性开拓和补充,许多问题的求解,在解析方法无能为力时,数值方法则可以借助于计算机出色完成.,f(x)=0某个区间上可能有奇数重根或者有偶数重根，都可以转换为讨论单根的情形（具体数学细节不多加解释）。所以此节我们考察单根情形。,4.1二分法,求非线性方程,确定方程的有根区间 计算根的近似值,的根的方法,分为两步：,首先确定有限区间：依据零点定理。设，且，则方程 在区间 上至少有一个根。如果 在 上恒正或恒负，则此根唯一。,等步长扫描法求有根
2、区间,用计算机求有根区间：等步长扫描法。设h0是给定的步长，取，若 则扫描成功；否则令，继续上述方法，直到成功。如果 则扫描失败。再将h 缩小，继续以上步骤。,等步长扫描算法（了解）,算法：（求方程 的有根区间）(1)输入；(2)；(3)，若 输出失败信息，停机。(4)若。输出，已算出方程的一个根，停机。,等步长扫描算法,(5)若。输出 为有根区间，停机(6)，转 3）注：如果对足够小的步长h扫描失败。说明：在 内无根在 内有偶重根,Qustion:有没有更直观的方法呢？,二分法,用二分法(将区间对平分)求解。令 若，则 为有根区间，否则 为有根区间 记新的有根区间为，则 且,二分法,对 重复
3、上述做法得且,二分法,设 所求的根为，则 即 取 为 的近似解,二分法特点：（1）条件简单，只需要满足连续性即可。（2）收敛速度慢，精度要求比较高时，时间花费比较大。,例题,例1 设方程,4.2 基本迭代法,迭代法及收敛性 对于 有时可以写成 形式 如：,迭代法及收敛性,考察方程。不能直接求出它的根，但如果给出根的某个猜测值，代入 中的右端得到，再以 为一个猜测值，代入 的右端得 反复迭代得,迭代法及收敛性,若 收敛，即 则得 是 的一个根,基本迭代法,上述方法称为 基本迭代法将 变为另一种等价形式。选取 的某一近似值，则按递推关系 产生的迭代序列。这种方法算为简单迭代法。,若 收敛，即 称迭
4、代法收敛，否则称迭代法发散,迭代法的几何意义,交点的横坐标,y=x,例题,例 试用迭代法求方程 在区间(1，2)内的实根。解：由 建立迭代关系 k=10,1,2,3.计算结果如下:,例题,精确到小数点后五位,例题,但如果由 建立迭代公式 仍取，则有，显然结果越来越大，是发散序列,下面考虑如下两个问题：什么时候收敛？收敛速度怎么刻画？,迭代法的收敛性,定理（压缩映像原理）（了解）设迭代函数 在闭区间 上满足（1）（2）满足Lipschitz条件即 有且。,压缩映像原理,则 在 上存在 唯一解，且对，由 产生的序列 收敛于。,关于压缩映像，教材上有另外一种形式Th4.2.1 则基本迭代格式收敛的充
5、要条件是：,例题,例 证明函数 在区间1，2上满足迭代收敛条件。证明：,例题,例题,若取迭代函数，不满足压缩映像原理，故不能肯定 收敛到方程的根。,简单迭代收敛情况的几何解释,是否取到合适的初值，是否构造合适的迭代格式，对于是否收敛是关键的。对于初值，实际操作时，可以先画出函数图形，然后，观察根大概在什么地方。对于迭代格式，可以对 求导，看看 是否小于1,迭代法收敛的阶 定义 设序列 收敛到，若有实数 和非零常数C，使得 其中，则称该序列是p 阶收敛的，,迭代法收敛的阶,当p=1时，称为线性收敛；当p1时，称为超线性收敛；当p=2时，称为平方收敛或二次收敛。,误差估计 若 满足定理条件，则,下
6、面定理给出判别迭代收敛阶的一个方法,定理：记 是 的根，设 在 附近连续，若对，有则基本迭代法 是P阶连续的。,基本迭代法的matlab实现,function k,piancha,xk=diedai1(x0,k)%输入的量-x0是初始值,k是迭代次数x(1)=x0;for i=1:k x(i+1)=fun1(x(i);%程序中调用的fun1.m为函数y=(x)piancha=abs(x(i+1)-x(i);i=i+1;xk=x(i);(i-1)piancha xkend,Matlab中与或非，分别是：&|与或非,if(piancha 1),关于程序里面的fun1,可以如下类似定义functio
7、n y1=fun1(x)y1=(10-x2)/2;,作业：,1.编程求方程 在区间(1，2)内的实根。2.习题4.4（P104）,4.3 Newton迭代法,设x*是方程f(x)=0的根，又x0 为x*附近的一个值，将f(x)在x0附近做泰勒展式 令，则,Newton迭代法,即以x1代替x0重复以上的过程，继续下去得：,Newton迭代法,以此产生的序列Xn得到f(x)=0的近似解，称为Newton法，又叫切线法。,Newton迭代法几何解释,几何意义,例题,例 用Newton法求 的近似解。解：由零点定理。,例题,例题,例 用Newton法计算。解：,Newton迭代法算法,Newton迭代
8、法收敛性,给定方程，若满足条件：（1）在根附近，f(x)二次连续可微。（2）则Newton迭代法是局部二阶收敛的。（即初值取根附近的值时，是二阶收敛的）,定理告诉我们：单根附近是二阶收敛的,Newton法的matlab实现,function k,xk,yk,piancha,xdpiancha=newtonqx(x0,tol,ftol,gxmax)x(1)=x0;,Newton法的matlab实现,for i=1:gxmax x(i+1)=x(i)-fnq(x(i)/(dfnq(x(i)+eps);piancha=abs(x(i+1)-x(i);xdpiancha=piancha/(abs(x(
9、i+1)+eps);i=i+1;xk=x(i);yk=fnq(x(i);(i-1)xk yk piancha xdpianchaif(abs(yk)ftol)endend,Newton法的matlab实现,if igxmax disp(请注意：迭代次数超过给定的最大值gxmax。)k=i-1;xk=x(i);(i-1)xk yk piancha xdpiancha return;end(i-1),xk,yk,piancha,xdpiancha;,重根情形,Newton 迭代重根时仅有线性收敛速度，经修改后可以有二阶收敛性。设重数为m.（1）m已知时，迭代公式修改为：,（2）m未知时，在根的附近
10、 有单根，对 构造newton迭代公式：,求重根的matlab实现,（一）已知方程根的重数供名为newtonxz.m的M文件：function k,piancha,xdpiancha,xk,yk=newtonxz(m,x0,tol,ftol,gxmax)x(1)=x0;for i=1:gxmaxx(i+1)=x(i)-m*fnq(x(i)/(dfnq(x(i)+eps);piancha=abs(x(i+1)-x(i);xdpiancha=piancha/(abs(x(i+1)+eps);i=i+1;xk=x(i);yk=fnq(x(i);(i-1)piancha xdpiancha xk yk
11、;if(pianchagxmax disp(请注意：迭代次数超过给定的最大值gxmax.)k=i-1;xk=x(i);yk=fnq(x(i);(i-1)piancha xdpiancha xk yk;return;end,求重根的matlab实现,（二）未知方程根的重数function k,piancha,xdpiancha,xk,yk=newtonxz1(x0,tol,ftol,gxmax)x(1)=x0;for i=1:gxmaxu(i)=fnq(x(i)/dfnq(x(i);du(i)=1-fnq(x(i)*ddfnq(x(i)/(dfnq(x(i)2+eps);x(i+1)=x(i)-
12、u(i)/du(i);piancha=abs(x(i+1)-x(i);xdpiancha=piancha/(abs(x(i+1)+eps);i=i+1;xk=x(i);yk=fnq(x(i);if(pianchagxmax disp(请注意：迭代次数超过给定的最大值gxmax.)k=i-1;xk=x(i);yk=fnq(x(i);(i-1)piancha xdpiancha xk yk;return;end,例 用牛顿切线法求方程 在 附近的近似根，要求精度.解 在MATLAB工作窗口输入程序k,xk,yk,piancha,xdpiancha=newtonqx(-0.4,0.001,0.001
13、,100)k,xk,yk,piancha,xdpiancha=newtonqx(-0.4,0.001,0.001,100),function k=fnq(x)k=2*x3-3*x2+1;%计算x处的函数值,function k=dfnq(x)k=6*x2-6*x;%计算x处的一阶导数值,作业1：求，要求精度为.要求（1）写出牛顿迭代格式，并分析其收敛速度（可仿照p97例4.3.1）（2）写出matlab实现程序（写清程序newtonqx(x0,tol,ftol,gxmax)中的各参数，另外自己写程序fnq,dfnq)作业2 习题4.5 习题 4.8,弦截法,牛顿迭代法需要计算，有时候是件很麻烦
14、的事情，比如f(x)仅给出离散的形式，可用一阶差商 代替，于是有弦截法迭代公式：,弦截法是超线性收敛的,例题,例 弦截法求方程在区间（1，2）内的实根。,弦截法的matlab实现,function k,piancha,xdpiancha,xk,yk=gexian(x01,x02,tol,ftol,gxmax)x(1)=x01;x(2)=x02;for i=2:gxmax u(i)=fnq(x(i)*(x(i)-x(i-1);v(i)=fnq(x(i)-fnq(x(i-1);x(i+1)=x(i)-u(i)/(v(i);piancha=abs(x(i+1)-x(i);xdpiancha=piancha/(abs(x(i+1)+eps);i=i+1;xk=x(i);yk=fnq(x(i);(i-2)piancha xdpiancha xk yk if(abs(yk)gxmaxdisp(请注意：迭代次数超过给定的最大值gxmax.)k=i-2;xk=x(i);yk=fnq(x(i);return;end,
