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1、,第六章 风险衡量,损失资料的收集与整理,损失资料的描述,风险衡量指标,损失频率与损失幅度的估算,本章主要内容,2,获得损失分布的一般过程,年度总损失分布及随机模拟,（一）损失资料的收集数据要求：（1）完整性。（2）一致性。（3）相关性。（4）系统性。,一、损失资料的收集与整理,（二）损失资料的整理,1、损失资料的整理首先是对损失数据的排列。2、资料分组资料分组是用来简缩资料的。必须决定组数、组距、组界、组频数。3、形成频数分布组距与相应的组频数一起形成频数分布。,某出租汽车公司车队每次事故的损失金额（万元）,频数分布表可以着重说明某些损失数据的特征，但有时也存在着缺点。例如表中清楚地表明损失
2、值小于4.75万大于0.25万的占损失次数的34.3%(6/35),而仅有8.6%（3/35）的汽车事故造成18.25万以上的损失。这里得不到每组数据中每次事故导致多少损失的直观信息，因此使用频数分布表时，需要估计每组的代表数值，一般使用每组的组中值，组中值是最有代表性的估计值。,组中值,3、累积频数分布 累积频数分布表是一个用以说明损失值在某特定数值以下的损失数据个数的表，各组对应的累积频数是该组及以前所有各组的组频数之和，即：第n组所对应的累积频数=第n-1组所对应的累积频数+第n组的组频数,11,二、损失资料的描述,（一）损失资料的图形描述通过图形描述可以使通过资料分组获得的数据特征更为
3、鲜明，普遍使用的有直方图、柱状图、圆形图、折线图等，如何选用图形取决于数据特性和风险管理决策的需要。,在研究频率分布的情况时,画频率分布的直方图,此时,横轴的坐标首先要按组来划分,组距是每一个小矩形的宽,由于每一个小矩形的面积表示样本数据落在该组内的频率,因此矩形的高不是频率,而是频率与组距的比-即频率/组距“所有小矩形的面积之和为1,我们可以通过面积的测量来求样本的频率,这就是频率分布的直方图的意义.从理论上讲,总体的分布应该是一条光滑的曲线-密度曲线,密度曲线与横轴所围成的曲线形的面积是1。因此,如果样本容量足够大,组距足够小,频率分布直方图应该覆盖密度曲线下方与横轴之间的部分.,关于直方
4、图的使用和意义：,柱状图,柱状图是用高度表示统计量(反映在纵轴上的数量)，因而另一轴上的度量值不必考虑。,饼状图、圆形图,一可比较各指标完成的情况。,雷达图,亦称综合财务比率分析图法，又称为戴布拉图、螂蛛网图、蜘蛛图 雷达图方法可以将不同指标在同一时点做横向比较，主要包括收益性、成长性、安全性、流动性及生产性五类指标。,先画出三个同心圆，并将其等分成五个扇形区，分别表示生产性、安全性、收益性、流动性和成长性。通常，最小圆圈代表同行业平均水平的1/2或最低水平；中间圆圈代表同行业平均水平；又称标准线；最大圆圈代表同行业先进水平或平均水平的1.5倍。,25,（二）损失资料的数字描述两类指标：一类是
5、描述集中趋势的指标，称作位置量数；另一类是表明离散趋势的指标，称作变异量数1、位置量数（1）全距中值(83页)（2）众数（3）中位数(4）算术平均数,分组资料平均数的计算,26,上述计算与实际平均数8.92极为接近。,27,2、变异量数在风险管理中选用的变异量数（反映离散趋势）有全距、平均绝对差、方差和标准差以及变异系数等。（1）全距（2）平均绝对差M.A.D,(3)方差和标准差,28,（4）变异系数（相对风险）一般地，变异系数 变异系数消除了现象的基数水平大小和量纲差异，可以在不同基数水平的同类现象，以及不同现象之间进行比较。,30,损失概率和损失程度：（一）损失概率 某一事件的发生与否往往
6、存在着一种统计规律性。,三、风险衡量指标,1、与损失概率有关的重要定理：贝努力大数定理、普阿松（泊松Poison）大数定理,（1）贝努力大数定理,设事件A在每次试验中发生的概率都为p,n次重复独立试验中事件A发生的次数为,则对任意正数 有当重复试验的次数n逐渐增大时，频率fn(A)呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数，这个常数就是事件A的概率.这种“频率稳定性”也就是通常所说的统计规律性。频率不等同于概率.由伯努利大数定理，当n趋向于无穷大的时候，频率fn(A)在一定意义下接近于概率P（A）.,3、损失概率在风险衡量中的两种说法（1）时间性说法 某栋大楼发生火灾的概率为1/10 它可能是10个月发
7、生一次火灾，也可能是10年发生一次火灾。两点注意：其一是时间单位采用的不同，损失频率亦不同；并且，随着观察时间的延长，损失频率会更接近损失概率。其二是在同类风险单位较少的情况下，由于难以短期内预测有多少单位受损，采用时间性说法对风险管理人员是有用的。,（2）空间性说法 此种说法侧重于特定期内足够的独立的相似风险单位中遭受损失的风险单位数，是众多风险单位在空间上的平均结果。注意：风险管理人员不能仅考虑本组织风险单位过去的损失情况，还要考虑不同经济单位，甚至不同国家的风险单位损失经验。如民航飞机失事率，则不仅要考虑一个国家民航飞机失事经验，更重要的是考虑全球民航飞机失事经验。飞机保险的费率依据之一
8、就是全球民航失事率。,（二）损失程度,损失的严重程度1、损失幅度2、损失期望值3、损失金额的概率分布,39,损失幅度是指一旦发生致损事故，造成的最大损失值。估测方法有两种：最大可能损失（MPL：Maximum Possible Loss）和最大预期损失（可能最大损失PML：Possible Maximum Loss）最大可能损失是一种客观存在，与人们的主观认识无关。例如一幢建筑物价值1000万，那么最坏的可能是全损，即最大可能损失 1000万。而最大预期损失则是一种与概率估算相关，即与人们的主观认识有关的概念，它随着人们选择的概率水平的不同而有所不同。因此最大可能损失大于等于最大预期损失。因此
9、，从概率的角度考虑，或许有人测算此栋建筑约40年有一次损失超过800万，由于这种可能极为微小，因此认定最大预期损失为800万，或许有人测算40年有一次损失超过850万，故最大预期损失为850万。,1、损失幅度,注意：,42,（1）随机变量期望值的定义：损失期望值表征某一时期的平均损失，它可以通过损失数据的算术平均数来估计，如果已得到损失的概率分布，则可精确计算出来。,2、损失期望值,43,（2）与数学期望相关的重要定理,切比雪夫大数定理,3、损失金额的概率分布,某损失金额或损失区间的概率情况：如损失在4500-6000元的概率？,四、损失频率与损失幅度的估测,（一）每年损失事故发生的次数 损失
10、次数可使用二项分布、泊松分布、负二项分布等来估计。1、用二项分布估测损失次数 假设n个风险单位均遭到同一风险的威胁。如果n 个风险单位在一年中发生所述的风险事故的次数为X，且满足下列条件：（1）每个风险单位发生同样风险事故的概率相同，设为p；（2）任一风险单位发生风险事故都不会影响其他风险单位发生同样风险事故（独立性）；（3）同一个风险单位在一年中发生二次以上的事故可能性极小，可以认为这一概率为零。则X为一服从二项分布的随机变量，且分布律为 其中q=1-p是标的一年中不发生事故的概率。,例 银行为支付某日即将到期的债券准备一笔现金,已知这批债券共发放了500张,每张需付本息1000元,设持券人
11、(1人1券)到期到银行领取本息的概率为0.4.问银行于该日应准备多少现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换？,解：设X为该日到银行领取本息的总人数,则,所需支付现金为1000X,依题意有,由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理知,设银行该日应准备现金x元,泊松分布,泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布,66,3、负二项分布,在事件A发生的概率为p的独立重复随机实验中，若以X记A第k次出现时的试验次数，则X为随机变量，它可能取的值为k,k+1,，其X的概率分布为帕斯卡分布（负二项分布）。,P155研究只有两个结果的独立重复随机试验，
12、指定结果发生的概率为p，则指定结果第k次恰好出现在第x+k次试验的概率为：,68,教材p156例：观察10万份保单，按其在一年中的索赔次数进行分组，见表。已知平均索赔次数为0.12318，方差为0.125707，分别用泊松分布和负二项分布来拟合索赔频数，看哪一种更适合。,实际应用中：常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。若其假设正确，则约68.27%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围，约95%数值分布在距离平均值有1.96个标准差之内的范围，以及约99%数值分布在距离平均值有2.58个标准差之内的范围。,（3）损失分布是N（81.19,32.95），损失值X大于100万的概率，即
13、,即Px100=10.7157=0.2843，所以损失值大于100万的概率为0.2843。,其中,某类赔款的平均规模为400元，标准差为1000元，计算85笔相互独立的赔款之和大于49000元的概率。解：根据独立随机变量的均值与方差具有可加性，预期总赔款额均值为85x400=34000，,列维林德伯格中心极限定理的应用,方差为 x1000=9219.54,根据列维林德伯格中心极限定理，总赔款支出超过49000元的概率为：,自由度分别为1、5、时的 t 分布,t分布的图形,例：某地为了估计七岁男童的平均身高（总体均数），研究者从所有符合要求的七岁男童中抽取25人，测得这25个男童的平均身高为12
14、0.18cm，标准差4.33cm。求置信度为95%的该地区7岁男童平均身高的可信区间。,例：某地为了估计七岁男童的平均身高（总体均数），研究者从所有符合要求的七岁男童中抽取100人，测得这100个男童的平均身高为120.18cm，标准差4.33cm。求置信度为95%的该地区7岁男童平均身高的可信区间。,2分布的性质,2分布曲线下的面积都是12值都是正值.2分布是一个正偏态分布。不同的自由度(v的大小)决定不同的卡方分布，v或v-1越小,分布越偏斜.,2,卡方分布的临界值,(一)经典统计方法,五、获得损失分布的一般过程,获得损失分布的大体轮廓,经典统计方法,经典统计方法,经典统计方法,选择分布类
15、型,TEXT,TEXT,TEXT,TEXT,TEXT,根据概率密度曲线非常直观地大致确定其分布族,估计参数，确定概率分布,1、假如某保险公司有10000个具有同类风险的人参加人寿保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时，其家属可向保险公司领得1000元。试问：平均每户支付赔偿金5.9元至6.1元的概率是多少？保险公司亏本的概率有多大？,习题：,2、保险公司的老年人寿保险一年有一万人参加，每人每年交40元。若老人死亡，公司付给受益人2000元。设老人死亡的概率为0.017，试求保险公司在这次保险中亏本的概率。,3、假设某工业区一年的火灾发生情况可以用一个泊松分布来描述，其中泊松分布的参数表示火灾发生的强度，即每一月发生火灾的次数，则 的先验分布为：,现在为了做好安全防范工作，某调查局对该工业区的火灾情况的发生次数进行为期1年的观察，发现共发生4次。求 的后验分布及均值。,
