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1、一、无穷小运算法则,定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.,Note:无限个无穷小之和不一定是无穷小!,例如，,类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.,定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小.,二、极限的四则运算法则,则有,定理 3.若,推论:若,且,则,定理 4.若,则有,Hint:利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明.,Note:定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形.,推论 1.,(C 为常数),推论 2.,(n 为正整数),定理 5.若,且 B0,则有,一般有如下结果：,为非负常数),(如P47 例5)
2、,(如P47 例6),(如P47 例7),定理7.设,且 x 满足,时,又,则有,极限存在准则,有,定理1.,有定义,且,有,Note:此定理常用于判断函数极限不存在.,法1 找一个数列,不存在.,法2 找两个趋于,的不同数列,及,使,不存在.,二、导数(derivative)的定义,切线方程:,法线方程:,注意:函数在点 x 连续未必可导.,反例:,在 x=0 处连续,但不可导.,定理1.,在闭区间 a,b 上可导,定理3.函数,例.函数y=|x|在x=0处连续但不可导。,注意:,？,一、四则运算求导法则,定理1.,的和、,差、,商(除分母,为 0的点外)都在点 x 可导,积、,在点 x 可
3、导,三、复合函数求导法则(Chain Rule),定理3.,在点,可导,复合函数,且,在点 x 可导,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.,思考题,四、初等函数的求导问题,1.常数和基本初等函数的导数(P94),2.有限次四则运算的求导法则,(C为常数),3.复合函数求导法则,4.初等函数在定义区间内可导,由定义证,说明:最基本的公式,其它公式,用求导法则推出.,且导数仍为初等函数,二、高阶导数的运算法则,都有 n 阶导数,则,(C为常数),莱布尼兹(Leibniz)公式,高阶导数的基本公式,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,(含导数 的方程),定理:函数,在点 可微的充要条件是,在点
4、 处可导,二、微分运算法则,设 u(x),v(x)均可微,则,(C 为常数),分别可微,的微分为,微分形式不变,5.复合函数的微分,则复合函数,(Hospitals rule),(洛必达法则),常用函数的麦克劳林公式,定义.设函数,在区间 I 上连续,(1)若恒有,则称,图形是凹的;,(2)若恒有,则称,连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点.,图形是凸的.,二、曲线的凹凸与拐点,Conclusions,1.可导函数单调性判别,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点,连续曲线上有切线的凹凸分界点,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,2)对常见函数,极值可能出现
5、在导数为 0 或 不存在的点.,1)函数的极值是函数的局部性质.,定理 1(极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,(自证),点击图中任意处动画播放暂停,定理2(极值第二判别法),二阶导数,且,则 在点 取极大值;,则 在点 取极小值.,定理3(判别法的推广),则:,数,且,1)当 为偶数时,是极小点;,是极大点.,2)当 为奇数时,为极值点,且,不是极值点.,特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值,则也是最大 值.,(小),对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点.,(小),1.水平(Horizo
6、ntal Asymptotes)与铅直渐近线(Vertical Asymptotes),若,则曲线,有水平渐近线,若,则曲线,有垂直渐近线,例1.求曲线,的渐近线.,解:,为水平渐近线;,为垂直渐近线.,2.斜渐近线(Slant asymptotes),斜渐近线,若,(P75 题13),二、函数图形的描绘,步骤:,1.Domain:确定函数,的定义域,及周期性;,2.求,并求出,及,3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;,4.求渐近线;,5.确定某些特殊点,描绘函数图形.,为 0 和不存在,的点;,并考察其对称性,则弧长微分公式为,或,若曲线由参数方程表示:,弧长微分,故曲率计算公式为,
7、Remark:直线上任意点处的曲率为 0!,可见:R 愈小,则K 愈大,圆弧弯曲得愈厉害;,一元函数积分学,存在原函数.,简言之：连续函数一定有原函数.,初等函数在定义区间上连续,初等函数在定义区间上有原函数,定理 2.,原函数都在函数族,(C 为任意常数)内.,三、不定积分的性质,二、基本积分表(P186),利用逆向思维,(k 为常数),或,或,换元积分法,第二类换元法,第一类换元法,分部积分法,分部积分公式,解题技巧:,把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的,顺序,前者为 后者为,反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数,一、有理函数的积分,有理函数:,时,为假
8、分式;,时,为真分式,有理函数,多项式+真分 式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,四种典型部分分式的积分:,变分子为,再分项积分,定积分的几何意义:,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,各部分面积的代数和,定理1.,定理2.,且只有有限个间断点,可积的充分条件:,三、定积分的性质,(设所列定积分都存在),(k 为常数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中 a,b,c 的相对位置任意时,例如,6.若在 a,b 上,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推论2.,推论1.若在 a,b 上,则,7.设,则,8.积分中值定理,则至少存在一点,使,则变上限函数,定理1.若,积分上限的
9、函数及其导数,说明:,1)定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.,2)变限积分求导:,同时为,通过原函数计算定积分开辟了道路.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、牛顿 莱布尼兹公式,(牛顿-莱布尼兹公式),机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2.,函数,则,三、定积分的换元法,说明:,1)当,即区间换为,定理 1 仍成立.,2)必需注意换元必换限,原函数中的变量不必代回.,3)换元公式也可反过来使用,即,或配元,配元不换限,例3.,(1)若,(2)若,偶倍奇零,二、定积分的分部积分法,定理2.,则,n 为偶数,n 为奇数,定义1.设,若,存在,则称此极限为 f(x)的无穷限反常积分,记作,这时称反常积分,收敛;,如果上述极限不存在,就称反常积分,发散.,类似地,若,则定义,则定义,(c 为任意取定的常数),只要有一个极限不存在,就称,发散.,无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.,并非不定型,说明:上述定义中若出现,它表明该反常积分发散.,引入记号,则有类似牛 莱公式的计算表达式:,例2.证明第一类 p 积分,证:当 p=1 时有,当 p 1 时有,当 p 1 时收敛;p1,时发散.,因此,当 p 1 时,反常积分收敛,其值为,当 p1 时,反常积分发散.,
