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1、,二、典型例题分析与解答,第一章,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数极限连续(31),一、知识点与考点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、知识点与考点,(一)函数,(1).函数概念的两个要素:定义域 D 与对应法则 f.,(2).求函数的定义域 D.,1.函数概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.基本初等函数,幂函数:,指数函数:,对数函数:,三角函数:,反三角函数:,由基本初等函数和常数经过有限次的四,则运算及有限次的函数复合步骤构成的用一个解析,式表示的函数称为初等函数.,3.初等函数:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.数列极限,2.数列极限的性质及判别法,(1
2、)收敛数列极限的性质,若,收敛,则其极限唯一.,若,收敛,则,有界,但其逆不真.,(二)极限,(2)数列收敛的判别法,单调有界准则:,单调有界数列,夹逼准则:,若,当,时,有,则,必收敛.,4.函数极限.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.单侧极限.,(1)左极限:,(2)右极限:,6.函数极限的运算法则,若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则有:,7.函数极限的性质:,定理1.,(函数极限存在的充分必要条件),定理4.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(函数极限的保号性),定理3.,若,则,当,时,定理2.,(函数极限保号性定理的逆定理),若,且,当,时,则,定理5,机动 目录
3、 上页 下页 返回 结束,(函数极限的夹逼准则),设在,内恒有,且,则,存在,且,8.无穷小与无穷大,无穷小:以0为极限的变量称为无穷小量.,(1)概念:,若函数 f(x)的,无穷大:在自变量的某一变化过程中,的绝对值无限增大,则称函数 f(x)为无穷大量.,(2)无穷小与无穷大的关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理7.,在自变量的同一变化过程中,无穷大的倒数,为无穷小,非零无穷小的倒数为无穷大.,(3)无穷小的运算性质,有限个无穷小的代数和仍为无穷小.,有限个无穷小的乘积仍为无穷小.,有界变量与无穷小的乘积仍为无穷小.,(4)无穷小的比较(无穷小的阶),机动 目录 上页 下页 返回
4、 结束,设,则称(x)是比(x)高阶的无穷小量.,若,记为(x)=o(x).,若,则称(x)是比(x)低阶的无穷小量.,若,则称(x)是与(x)同阶的无穷小量.,若,则称(x)是与(x)等价的无穷小量.,记为(x)(x).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若,则称(x)为(x)的k阶,无穷小量.,(5)常用的等价无穷小量,x0时,9.求未定式极限的洛必达法则,设函数 f(x),g(x)满足条件:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则有,只有,内可导,存在,(或为);,注释:,改变条件可得x时,型未定式的洛必达,法则,以及,型的未定式的洛必达法则.,时,型的未定式才可用洛必达法则,每用一次
5、洛必达法则都应将式子化简.,只要是,型的未定式洛必达法则就可用一直用下去.,为简化运算,经常将洛必达法则与等价无穷小代换,结合使用.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10.等价无穷小的代换定理,设,则有,11.求极限的重要公式,(1)两个重要极限,(2)“抓大头”公式,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,(3)趋近,快,慢,x+时,函数趋于+的速度,(4)常用极限,不存在.,不存在.,不存在.,不存在.,的快慢比较.,+,相应地函数有增量,(三)连续,1.函数连续性的定义,设函数 f(x)在,内有定义,处给 x 以,如果,定义1.,则称函数 f(x)在,刘徽 目录 上页 下页 返回 结束
6、,增量x,处连续.,定义2.,若函数 f(x)同时满足条件:,f(x)在,的某邻域内有定义;,存在;,注释:,判断分段函数在分界点处的连续性用定义2方便.,定义3,若函数 f(x)在(a,b)每一点都连续,在左端点a 处右连续,则称函数f(x)在a,b上连续.,(即,定义4,则称函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,f(x)在(a,b)内连续.,若函数 f(x)在(a,b)内连续,在右端点b处左连续,(即,2.连续函数的运算,连续的函数的和、差、积、商(分母不为零),仍为连续函数.,定理1:,定理2.,连续函数的复合函数仍为连续函数.,若,一切初等函数在其定义区间内均为连续函数.,定理4.
7、,定理3.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一切基本初等函数在其定义域内均为连续函数.,是初等函数 f(x)定义区间内的一点,则有:,3.函数的间断点,定义5,处出现下列三种情形之一:,(1)f(x)在,处无定义;,(2),不存在;,(3),则称,为 f(x)的间断点.,若 f(x)在,4.间断点的类型,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1)第一类间断点:,若,则称,为可去间断点.,若,均存在的间断点.,则称,为跳跃间断点.,(2)第二类间断点:,第一类间断点以外的其它间断点.,5.闭区间上连续函数的性质,性质1(最值定理),设函数 f(x)在a,b 上连续,则 f(x)在a,b上必取
8、得,其最大值 M 和最小值 m.,性质2.(有界定理),机动 目录 上页 下页 返回 结束,是介于 M 和 m 之间的,设函数 f(x)在a,b 上连续,则 f(x)在a,b上有界.,性质3(介值定理),设函数 f(x)在a,b 上连续,任一实数,则在(a,b)内至少存在一点,使 f()=.,零点定理(根的存在性定理),且f(a)f(b)0,设函数 f(x)在a,b 上连续,则在(a,b),使 f()=0.,(a b),推论:,内至少存在一点,二、典型例题分析与解答:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1,解,注释,本题考查函数的定义域.,的定义区间为.,应满足,当,时,即,此时,当,时,
9、即,此时,无解.,应填,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,且,求,解:,由,又,则,及其定义域.,设,定域为:x(,0.,注释:,本题考查函数的复合及复合函数的定义域.,例3.,当 x1时,函数,的极限().,(B)等于0;,(A)等于2;,(C)为;,(D)不存在但不为.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以当 x1时,函数,的极限不存在但不为.,故应选(D).,D,用直接法解此题.,由于,而,注释:,本题考查函数在一点处极限存在的充分必要条件.,例4.,解:,分子分母同除以 x,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,应填,注释:,本题考查函数极限的求法.,解题的关
10、键点在于分,子分母同除以 x,若用洛必达法则解本题,并运用了重要极限和等价无穷小的,概念.,将会得出极限不存在的,错误结论.,填空题,原式,例5.,求极限,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注释:,本题考查求,型极限的方法.,解题中利用了变,量代换和等价无穷小代换.,原式,已知当x0时,为等价无穷小,则常数a=_.,解:,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由于x0时,注释:,本题考查无穷小的比较.,常用等价无穷小要熟记:,例6.,x0时,例7.,设a是非零常数,则,解法1,解:,应填,当a=0 时,则对一切a 有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注释:,又,则,机动 目录
11、上页 下页 返回 结束,解法2,本题考查重要极限,解法1与解法2是处理,型极限时常用的两种方法,当然洛必达法则也是一种常用方法.,解法1本质上就,是将所求极限凑成重要极限,的形式再,求极限.,且,则,结论可直接使用.,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2是利用以下结论:,若,例8.,求,解:,由于,原式,所以,事实上,例9.,求极限,解:,由于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以,例10.,设函数,解:,由于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其余点都连续.,则,有（）.,(A)1个可去间断点,1个跳跃间断点;,在x=1和 x=0 处无定义,A,(B)1个可去间断点,1个无穷
12、间断点;,(C)2个可去间断点;,(D)2个无穷间断点.,所以x=1和 x=0 为间断点,从而,注释:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则 x=1 为 f(x)的跳跃间断点.,则 x=1 为 f(x)的可去间断点.,本题考查求函数的间断点以及间断点类型的判断.,而,例11.,设,解:,在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,连续,则a=_.,要使 f(x)在,连续,只需,即a=1.,所以应填1.,1,注释:,本题考查函数在一点处连续与该点左、右连续,的关系.,由于,例12 设,处连续.,解,由设连续知,再由,代入(1)得,故当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注释,本题考查函数在一点处连续的概念及利用连续,和极限存在定参数.,处连续.,若比的极限存在当分母极限为0时分子极限必为0,若比的极限不为0当分子极限为0时分母极限必为0,
