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1、高等数学(一)学习辅导第一部分：内容提要和考试要求一、函数、极限与连续（1）理解函数的概念，理解函数的两个要素：函数的定义域与函数的对应法则（2）理解函数的奇偶性和单调性，了解函数的有界性和周期性（3）了解反函数的概念，会求单调函数的反函数（4）理解和掌握函数的四则运算和复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程（5）掌握基本初等函数的简单性质及其图象，了解初等函数的概念,（6）了解函数极限的直观概念.（7）理解函数在一点处左、右极限的概念，理解函数在一点处极限存在的充分必要条件.（8）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法.（9）掌握极限的四则运算法则.（10）理解无穷小量概念，了解无穷大量概念，掌握
2、无穷小量性质.了解无穷小量的阶的概念.（11）理解函数在一点连续与间断的概念，掌握判断简单函数（含分段函数）在一点连续的方法.（12）了解在闭区间上连续函数的性质（13）理解初等函数在其定义区间上性质.并会利用函数连续性求极限.,二、一元函数微分学（1）理解导数的概念及其几何意义.（2）会求曲线上一点处的切线方程.（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法.（4）掌握隐函数的求导法.（5）了解高阶导数的概念，会求函数的二阶导数.（6）理解微分的概念.会求函数的一阶微分.（7）熟练掌握用洛必达法则求、型未定式的极限方法.,（8）掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、
3、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式（9）理解函数极值的概念，掌握求函数的极值、最大值与最小值的方法，并会求解简单的应用问题（10）会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点三、一元函数积分学（1）理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质（2）熟练掌握不定积分的基本公式,(3)理解定积分的概念、基本性质、定积分中值定理(4)掌握微积分基本定理（即变上限积分定理）和微积分基本公式（即牛顿-莱布尼兹公式）.(5)运用定积分的换元法和分部积分法计算定积分.(6)运用定积分求平面曲线围成图形的面积和简单立体的体积.,第二部分：解题方法和典型例题一、求极限的主要方法 1.利用各极限定理
4、与性质（包括左右极限定理、单调有界定理、夹逼准则等）.2.运用四则运算公式与连续性求定式的极限.3.求未定式的极限，常用如下方法：（1）未定式变形法，即运用初等变形（通分、约分、同乘同除、有理化分母与分子、求数列之和、用恒等式或三角公式变形、换元法、取对数等）化未定式为定式，再求出极限.（2）利用重要极限与常用极限公式，利用等价无穷小求极限.,（3）利用洛必达法则求极限（作为导数的应用）.例1 求解：题目含 和，需用左、右极限来求.左极限=右极限=所以原极限=1.,例2 求解：题目比较复杂，可用等价无穷小替换变简单.原式=例3 设，求解 先证数列 存在极限.易知当 时，,.假设 时，则当时，所
5、以，即 是有界数列.由于，所以，从而，则，故 是单调增加数列，从而数列 必定存在极限.设，对等式 两边取极限，得，从而（舍去）.,例4 已知，求 解因为，所以，从而.以 代入原式得原式=所以.二、一 元函数微分法1.要求掌握导数、微分及高阶导数的定义和几何意义.,2.熟练掌握计算导数、导函数、微分及高阶导数的各种方法，特别是复合函数、隐函数求导公式、对数求导法等.例5 设，求 和 解:当 时，当 时，由于 不存在极限，所以 在 处不连续，故 在 不可导，即,不存在.例6 求二次曲线上任一点 处切线方程.解:由隐函数求导法，将方程两边对 求导得，,从而切线斜率故切线方程为,例7 求函数 的 阶导
6、数.解例8 设 对任何 都满足，且（常数），求 解 令，则，从而,三、微分中值定理与导数的应用1.掌握罗尔定理、拉格朗日定理的条件、结论、几何意义、相互关系.2.熟练运用洛必达法则求各种未定式的极限（包括 七种类型）.3.利用导数研究函数的各种性态（包括单调性、极值、最值及应用题、凹凸性及拐点）.,例9 设，其中 有二阶连续导数，且.（1）确定 的值，使 在点 处连续.（2）求.（3）讨论 在点 处的连续性.解（1）利用洛必达法则求极限：所以当 时，这时 在点 处连续.,（2）时，时，用定义求导数：,（3）所以 在 处连续.四、计算不定积分的方法主要有：直接积分法、两个换元积分法、分部积分法、
7、有理函数及可化为有理函数的积分法等，其中换元法和分部积分法是常用的两个主要方法.,例10 已知 的一个原函数为，求.解 因为，即，所以,例11 已知，求.解 令，则，从而，所以考虑到上式中 的，且题目设 时 所以应取，从而应舍去，故,例12 求解 若先让 凑成，计算将很复杂，应优先化简分母.原式,例13 求解 原式,五、定积分及其应用1.理解定积分的概念、基本性质、定积分中值定理.2.掌握微积分基本定理（即变上限积分定理）和微积分基本公式（即牛顿-莱布尼兹公式），利用求原函数（或不定积分）和牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.3.运用定积分的换元法（包括第一类和第二类）和分部积分法计算定积分.4.运
8、用定积分求平面曲线围成图形的面积以及简单立体的体积.例14 设函数 在0，1上连续，在（0，1）内可导，,，求证在（0，1）内至少存在一点，使.证明 由已知 的条件，满足定积分中值定理的条件，所以存在，使，从而，再由罗尔定理，存在，使.,例15 已知，求证.分析：被积函数 在 处不连续，所以不能应用积分上限求导公式，而要用分部积分法将 改造成在 处连续的另一函数，问题即可解决.证明其中约定于是新的被积函数 在 处连续，从而,另设，则所以例16 求分析：对于被积函数含根式、绝对值或分段函数的积分，应设法去掉根号、绝对值或分段来计算，应注意被积函数在不同部分区间所取的正负号或不同的表达式.,另设，
9、则所以例16 求分析：对于被积函数含根式、绝对值或分段函数的积分，应设法去掉根号、绝对值或分段来计算，应注意被积函数在不同部分区间所取的正负号或不同的表达式.,解：原式例17：设在上连续，在内可导,且 令，求证在 内.证明由定积分中值定理，存在，使,从而,又因为,所以单调减少，从而，又，从而例18 设曲线,轴和轴所围区域被曲线 分成面积相等的两部分，其中为常数，试求 的值.解：由，求得交点坐标为,分别记上、下两块的面积为和，则而，从而，故.,例19 计算下列定积分解（1）原式,（2）令，则，从而移项得,（3）原式例20：设在上连续，且求证(1)(2)方程 在 内有且仅有一个根.,证明（1）由积
10、分变上限函数的性质知（2）又知 在 上连续，所以由零点存在定理，方程 在内至少有一个根.又因，所以 在 上严格单调增加，从而方程 在 内仅有一个根.例21 设，求,解：设，则 原式,例22 求下列极限：（1）（2）解:(1)原式=,（2）,例23 求下列极限：（1）（2）解（1）原式=,（2）,例24 求下列极限：（1）（2）,解：（1）当时，所以,（2）,例25 求下列函数极限：（1）（2）,解（1）,（2）,例26求下列极限：（1）,（2）解（1）原式=,（2）另求下列极限：（3）（4）,解（3）,（4）,或（4）,例27：求下列极限：(1)（2）解（1）因所以,（2）因所以,例28求下列
11、函数在分段点处的极限：（1）（2）,解：(1)即故,（2）,即 故 不存在.例29 已知，求的值.解：因当 时，由此及已知，可得必有,（否则，将与已知矛盾）,即从而有 即,或由已知，必有即，由比较两端系数，得例30：若,求的值,解：此为“”型极限，即因分母为的一次二项式，分子必为常数，即,例31判断函数的连续性(1)(2)解:(1)当时，处处连续，在分段点处，,即。从而在 不连续（2）当时，处处连续，分段点为，,即所以，且，即，所以函数在 也连续，从而在 上连续.,例32：求函数 的间断点.解：函数在 处没定义，因此 为间断点.,例33 求函数 的间断点解：为分段函数，分段点为 对，有,，即左
12、、右极限存在但不相等，故其为间断点对,从而有，又 从而为连续点，故 只有 为间断点.,有,例34设函数 在 处可导，且，求解：由导数定义可知,例35讨论 在处的可导性.解：=虽然左、右导数都存在，但不相等，所以在 处不可导.,例36 求下列函数的导数（1）（2）（3）（4）解:(1)函数是由 复合而成的，于是,(2)函数 是由 复合而成的，于是(3)(4).,例37求函数的极值.解：函数 的定义域为,函数的导数为=令,得驻点.且 是不可导点.列表讨论 的极值如下:,由上表可知，在处，函数取得极小值；在处，取得极大值,例38要造一圆柱形油桶，体积为V，问如何设计底半径R和高,才能使用料最省？此时，底直径与高的比是多少？解：依题意，桶的表面积为,令,解得驻点,而，所以 是唯一极小值点，由实际问题，可知它是最小值点，故当 时，桶表面积最小，即用料最省，此时，,例39 判断曲线 的凹凸性及拐点解：函数定义域为，令，解得,由表知 为凹区间，为凸区间；拐点为（0，0）及 例40 已知曲线 在点 处有水平切线，点 为拐点，试写出曲线方程.,解：依题意求 的值，由已知，为驻点，有即，得由，即,得。又点,都在曲线上，有，由方程组：故曲线方程为.,
