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1、如果我们接受某条信息时，和我们头脑中已有的信息有密切的联系，就好像往仓库中放东西时作了许多的标记，寻找时就比较容易。可见，有效地提取信息，是记忆的核心。而有效提取的关键，是接收信息时“做好标记”。,1.凹凸性的定义,（中点的函数值小于函数值的中值）,（中点的函数值大于函数值的中值）,3.4 曲线的凹向与拐点 函数作图,一 曲线的凹向与拐点,就是说：若在某一区间内，函数图像总在曲线上任一点切线的上方，则称曲线在这区间是凹的；,直观观察,在有些教材中，凹的（曲线）又叫“上凹”，凸的又叫“下凹”。,连续曲线上，不同凹向曲线段的分界点，称为曲线的拐点。,注意：拐点是曲线上的点，应由两个坐标表示：（x0
2、,f(x0)）.前面讲过的极值点，是取得极值时自变量的值，记 为 x=xi。两者不同。,P106定理3.8 函数y=f(x)在闭区间 a,b 上连续,在开区间内二阶可导，则当 f”(x)0 时，曲线上凹（凹）；f”(x)0 时，曲线下凹（凸）。,2、曲线凹向的判定,仍可用“雨水法则”帮助记忆,证明从略，但应注意：（1）定理条件中的“在开区间内二阶可导”，对有限个点，可以允许二阶导数为零或不存在。但一阶导数必须存在。（2）定理中的区间，可以是任何形式的区间。,补例1.,补例2.,解,解,3、判定函数凹向的步骤,（1）确定函数 y=f(x)的定义域；（2）求 f”(x),找出使 f”(x)=0 和
3、 f”(x)不存在的点 xi；（3）用 xi 把定义域划分成为小区间，在每个小区间上判定曲线的凹向。,4、拐点的判定,必要条件：,若函数 f(x)在点 x0 二阶可导，且点(x0,f(x0)是曲线的拐点，则 f(x0)=0,充分条件：,补例3.,曲线是凸的。,曲线是凹的。,解,补例4.,在区间（，0内曲线是凹的。,在区间0，上曲线是凸的。,解,在区间，）内曲线是凹的。,补例5.,因此，（0，0）不是这曲线的拐点。,补例6,解,解,另外，函数没有其他二阶导数为零或二阶导数不存在的点。,本例说明：二阶导数不存在的点也有可能是拐点,5、曲线的渐近线(补课本1.6),(1)、水平渐近线,(2)、垂直渐
4、近线,(3)、斜渐近线（补充不作要求）,显然，一般先确定a,二 函数作图,利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图。,1、分析法作图的步骤：（1）确定函数的定义域，考察函数的奇偶性、周期性；（2）求函数的一阶、二阶导数，找出 f(x)=0 和 f(x)不存在的点 xi 找出 f”(x)=0 和 f”(x)不存在的点 xk（3）用 xi,xk 和函数的间断点把函数的定义域划分成若干个小区间；（4）确定函数的单调性、极值点、凹向和拐点。列成表格；（5）讨论函数的渐近线。添加必要的辅助点；（6）完成作图。,（4）第四行曲线 y=f(x)，用适当凹向的曲线箭头，表明函数在相应区间的大体形态；注意，箭
5、头方向是：箭尾在左，箭头在右；,2、关于函数形态表的说明（如下表）,（1）第一行 x，由左至右按照从小到大列出小区间和它们的分界点；,（3）第三行 y”，在相应的区间判断正、负；在分界点写出相应的导数值；,（2）第二行 y，在相应的区间判断正、负；在分界点写出相应的导数值；,解,补例1.,3、应用举例：,得到函数图形上三个点,辅助点,所以该曲线既无水平渐近线，,也无铅直渐近线。,补例2.,解,得到曲线上的两个点,加辅助点,注：本例特点（1）利用函数的奇偶性；（2）补充点（0，y(0)），（2，y(2)）；（3）有水平渐近线。,补例3,解,+,+,0,0,极大,拐点,不存在,不存在,不存在,得曲线上的点,辅助点,
