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1、1,一、有界性与最大值最小值定理,最大值与最小值 函数f(x)在区间I上有定义 如果有x0I 使得xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值),最大值与最小值举例:,函数 f(x)=1+sinx在区间0 2p上，有最大值 2 和最小值 0,下页,2,函数y=sgn x 在区间(-+)内，,下页,最大值与最小值举例:,一、有界性与最大值最小值定理,最大值与最小值 函数f(x)在区间I上有定义 如果有x0I 使得xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值),3,例如,无最大值和最小值
2、,也无最大值和最小值,又如,并非任何函数都有最大值和最小值,应注意的问题:,4,说明:,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值,下页,又至少有一点x2a b 使f(x2)是f(x)在a b上的最小值,至少有一点x1a b 使f(x1)是f(x)在a b上的最大值,定理说明 如果函数f(x)在闭区间a b上连续 那么,闭区间a,b上的连续函数 f(x)也记作,5,应注意的问题:1.如果函数仅在开区间内连续 2.或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值,下页,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能
3、取得它的最大值和最小值,6,定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,证明 设 f(x)Ca b 由定理1 M和m 使xa b满足mf(x)M 故 f(x)在a b上有上界M和下界m 因此函数f(x)在a b上有界,首页,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值,7,二、零点定理与介值定理,注:1.如果x0使f(x0)=0 则x0称为函数f(x)的零点 2.,下页,定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0,几何解释,8,例1 证明方程x3-4
4、x2+1=0在区间(0 1)内至少有一个根 证明 设 f(x)=x3-4x2+1 则 f(x)C0 1 并且 f(0)=10 f(1)=-20 根据零点定理 在(0 1)内至少x 使得 f(x)=0 即 x 3-4x 2+1=0 这说明方程x3-4x2+1=0在区间(0 1)内至少有一个根是x,下页,二、零点定理与介值定理,定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0,9,定理4(介值定理)设函数 f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)f(b)那么 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b
5、)内至少有一点x 使得f(x)=C,下页,二、零点定理与介值定理,定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0,几何解释:,连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少有一个交点,10,返回,根据零点定理 在开区间(a b)内至少有一点x 使得,定理4(介值定理)设函数 f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)f(b)那么 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C,因此 f(x)=C,j(x)=0 即f(x)-C=0,因为f(a)f(b)，,设j(x)=f(x
6、)-C 则j(x)在闭区间a b上连续,证明,所以j(a)=f(a)-C与j(b)=f(b)-C异号,11,二、零点定理与介值定理,定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值,定理4(介值定理)设函数 f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)f(b)那么 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C,结束,12,例2,证,由零点定理,13,例2.设 f(x)在a,b上连续,且恒为正,证明:,必,使,令,则,使,故由零点定理知,存在,即,当,时,取,或,则有,证,14,思考题,下述命题是否正确？,思考题解答,不正确.,例函数,
