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1、第七节,曲线的弯曲程度,与切线的转角有关,与曲线的弧长有关,主要内容:,一、弧微分,二、曲率及其计算公式,三、曲率圆与曲率半径,平面曲线的曲率,第三章,一、弧微分,设,在(a,b)内有连续导数,其图形为 AB,弧长,则弧长微分公式为,或,几何意义:,若曲线由参数方程表示:,二、曲率及其计算公式,曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量,),),弧段弯曲程度越大转角越大,转角相同弧段越短弯曲程度越大,1、曲率的定义,),弧段弯曲程度与 有关.,转角,、弧段长度,),（,设曲线C是光滑的，,（,定义,曲线C在点M处的曲率,2、曲率的计算公式,注意:,(1)直线的曲率处处为零;,(2)圆上各点处的曲率
2、等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.（课本P170）,例1(P171-2),解,显然,三、曲率圆与曲率半径,定义,1.有共同的切线，亦即圆与曲线在点M处相切.,曲率圆与曲线在点M处有以下关系：,2.有相同的曲率.,3.因此，圆和曲线在点M处一阶导数相同、二阶导数同号.,例2,解,如图,受力分析,视飞行员在点o作匀速圆周运动,O点处抛物线轨道的曲率半径,得曲率为,曲率半径为,即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.,运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支微分几何学.,小结,1.弧长微分,或,2.曲率公式,3.曲率圆,曲率半径,思考题,椭圆 上哪些点处曲率最大？,思考题解答,要使 最大
3、，,必有 最小，,此时 最大，,补充:参数方程曲率公式,作业:P177:2,5,8,选讲：曲率圆与曲率半径,设 M 为曲线 C 上任一点,在点,在曲线,把以 D 为中心,R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的,曲率圆,(密切圆),R 叫做曲率半径,D 叫做,曲率中心.,在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:,(1)有公切线;,(2)凹向一致;,(3)曲率相同.,M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使,设曲线方程为,且,求曲线上点M 处的,曲率半径及曲率中心,设点M 处的曲率圆方程为,故曲率半径公式为,满足方程组,的坐标公式.,由此可得曲率中心公式,当点 M(x,y)沿曲线,移动时
4、,的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线,相应的曲率中心,曲率中心公式可看成渐,曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线.,屈线的参数方程(参数为x).,点击图中任意点动画开始或暂停,例4.设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨,削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?,解:设椭圆方程为,由例3可知,椭圆在,处曲率最大,即曲率半径最小,且为,显然,砂轮半径不超过,时,才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.,(仍为摆线),例5.求摆线,的渐屈线方程.,解:,代入曲率中心公式,得,摆线,半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时,点击图中任意点动画开始或暂停,其上定点 M,的轨迹即为摆线.,参数的几何意义,摆线的渐屈线,点击图中任意点动画开始或暂停,内容小结,曲率中心,
