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1、1,第一讲 数域P上的一元多项式,目录 下页 返回 结束,2,一、数域的定义,首页 上页 下页 返回 结束,3,二、例,首页 上页 下页 返回 结束,4,首页 上页 下页 返回 结束,5,首页 上页 下页 返回 结束,6,首页 上页 返回 结束,三、一元多项式的基本概念,其中 称为系数在数域P中的一元多项式,或者简称为数域P上的一元多项式.,定义2 设n是一非负整数,形式表达式,常用 f(x),g(x),，或 f,g,来表示一元多项式.,设P是一个数域,x是一个符号(或称文字).,7,四、次数公式,定理 设 f(x),g(x)是数域P上的两个非零多项式,则,定义 所有系数在数域P上的一元多项式
2、的全体,称为数域P上的一元多项式环,记为Px,P称为Px的系数域.,8,9,(1)式中的g(x)与r(x)分别称为g(x)除 f(x)所得的商式与余式.,五、带余除法,10,解,故商式,余式,于是,11,12,六、整除概念及性质,定义 设 f(x),g(x)Px,如果存在h(x)Px,使 f(x)=g(x)h(x)则称g(x)整除 f(x),记为g(x)|f(x),并称g(x)是 f(x)的因式,f(x)是g(x)的倍式.,当g(x)不整除 f(x)时,记为,注:(1)“整除”只是多项式间的一种关系而不是一种运算.,(2)任何一个多项式g(x)都能整除零多项式.,(3)零多项式能且只能整除零多
3、项式.,13,(4)零次多项式(即数域P中非零数)是任何多项式的因式,且反之亦然.,14,多项式的整除有如下的一些基本性质:,(整除的传递性),15,16,七、最大公因式,例如 对于任意多项式 f(x),f(x)就是 f(x)与0的一个最大公因式.,特别地,两个零多项式的最大公因式就是0(唯一).,17,这种方法称为辗转相除法.,18,即两个多项式的最大公因式,如不计零次因式的差异是唯一的.,当 f(x),g(x)不全为零时,用记号(f(x),g(x)来表示 f(x)和g(x)的首项系数为1的最大公因式.,由最大公因式定义可知,若 都是 f(x)与g(x)的最大公因式,则 于是由整除的性质,19,定理2 对任意 f(x),g(x)Px,其最大公因式d(x)存在,且有u(x),v(x)Px,使 d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)(2),1)适合定理条件的u(x),v(x)不是唯一的.,2)对任意的u(x),v(x),由,20,八、互素,定义7 如果(f(x),g(x)=1,则称 f(x)与g(x)互素.,显然,f(x)与g(x)互素 它们除零次因式外不再有其它公因式.,几个简单事实:,(1)若 f(x)与g(x)互素,则 f(x)与g(x)不全为零多项式.,(2)零多项式与零次多项式互素,且只与零次多项式互素.,(3)零次多项式与任意多项式互素.,21,22,
