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1、二、微分的几何意义,四、微分在近似计算中的应用,三、微分的运算法则,第五节,一、微分的概念,函数的微分,第二章,一、微分的概念,引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x,面积为 A,则,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当 x 在,取,变到,边长由,其,的微分,定义:若函数,在点 的增量可表示为,(A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理:函数,在点 可微的充要条件是,即,在点,可微,定理:函数,证:“必要性”,已知,在点 可微,则,故,在点 的可导,且,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,定理:函数,在点 可微的
2、充要条件是,在点 处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点 的可导,则,说明:,时,所以,时,很小时,有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,当 很小时,则有,从而,导数也叫作微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,二.微分的几何意义,例1 设,求当,及,时，函数的增量和微分的值.,解:,当,时，函数的增量,则,时，,则,时，,三、微分运算法则,设 u(x),v(x)均可微,则,(C 为常数),分别可微,的微分为,微分形式不变式,5.复合函数的微分,则复合函数,基本初等函数的微分公式(见 P72表),例3.设,解:,，求,例4.设,求,解:先化简,例+.设,求,解:利用一阶微分形式不
3、变性,有,例5.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意:数学中的反问题往往出现多值性.,数学中的反问题往往出现多值性,例如,四、微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,（一）函数值的近似计算,特别当,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,解:以,例6.,半径为10 厘米的金属圆片加热后，,半径伸长了0.05厘米，,问面积达约增加了多少？,分别表示圆片的面积及半径，,则,当,厘米，,厘米，时,面积的增量,（厘米2）,的近似值.,例7.求,解:设,则,令,则由,得,的近似值.,例8.求,解:由公式,内容小结,1.
4、微分概念,微分的定义及几何意义,可导,可微,2.微分运算法则,微分形式不变性:,(u 是自变量或中间变量),3.微分的应用,近似计算,估计误差,思考与练习,1.设函数,的图形如下,试在图中标出的点,处的,及,并说明其正负.,2.,1.已知,求,解：因为,所以,备用题,方程两边求微分,得,已知,求,解：,2.,（二）函数的误差估计,例1.,计算球的体积可精确至，,若根据这个体积,来推算球的半径,则,的相对误差是多少？,解:由公式,则,于是,因此,例2.有一批半径为1cm 的球,为了提高球面的光洁度,解:已知球体体积为,镀铜体积为 V 在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,(g),用铜多少克.,估计一下,每只球需,要镀上一层铜,厚度定为 0.01cm,
