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1、高等数学（上）第四讲,第一章,第二节,数列的极限（1）,第二节 数列的极限,有很多实际问题的精确值，仅仅通过有限次的,而必须通过分析一个,由此产生了,例如,一、极限思想,算术运算是求不出来的，,无限变化过程的变化趋势才能求得，,极限概念和极限方法。,(1),我国晋朝时代数学家刘徽割圆术,依次求出圆内接 正六边形，正十二边形，正二十四边形,就接近于对应圆的面积.,正,边形的面积：,正多边形的面积An,利用圆内接正多边形的面积,推算圆的面积,当正多边形的边数越来越大,(2),二、数列的概念,按照一定的顺序排成的,一列数,中学的定义,叫做一个数列，,数列可表示为xn,数列xn=f(n)是一个以正整数
2、集Z+为定义域的函数,(3),观察数列1.,从直观上看,这个数列当n越来越大时,对应的项xn会越来越接近于1。,如何用精确的,量化的数学语言来刻划这一事实?,三、数列的极限,常数1就是数列xn当n趋向于无穷大时的极限,？,(4),就是说:无论你给一个多么小的正数,当n充分大时,要说明“当n越来越大时,xn越来越接近于1”,只须说明“当n越来越大时,|xn1|会越来越接近于0”.,而要说明“|xn1|越来越接近于0”,则只须说明“当n充分大时,|xn1|能够小于任意给定,由于是任意的,从而就说明了|xn1|会越来越接近于0.,的,无论多么小的正数”,|xn1|比 还小,(5),事实上,给,很小,
3、只须n1000 即可,数列中,从第1001项开始,以后各项都有,要,也即在这个,又给,则从第10001项开始,以后各项都有,(6),一般,任给 0,不论多么小,只须,.因此,从第,项开始,以后各项都有,.因是任意的,这就说明了当n越来越大时,xn会越来越接近于1.,要使,存在一个整正数N,(7),定义:设xn是一个数列,a是一个确定的常数,若 0,则称a是数列xn当n无限增大时的极限,记作,这时,也称xn的极限存在,否则,称xn的极限不存在,或称xn是发散的.,正整数N,使得当nN时,都有|xna|,或称xn收敛于a,对任意的,总存在,(8),注1.定义中的是预先给定的,任意小的正数；,注2.
4、一般说来,N随给定的变化而变化,给不同的 确定的N也不同；,注3.,定义中“当nN时,有|xna|”的意思是说,从第N+1项开始,以后各项都有|xna|,至于以前的项是否满足此式不必考虑.,(9),四、几何解释:,x2,x1,a-,xN+5,a,xN+1,a+,x3,x,),(,xN,由于|xna|,xn以a为极限,就是对任何以a为中心,以任意小的,总能找到一个N,而只有有限项落在U(a,)外部.,a xn a,xn(a,a+)=U(a,).,正数 为半径的 邻域,从第N+1项开始,以后各项都落在邻域 U(a,)内,(10),证明数列极限的步骤：,0,由|xna|,解出nN(),取N=N(),
5、关键在于找出N,(11),设数列xn的一般项,求出N,使当nN时,xn与其极限之差的绝对值小于正数,当 0.001时,求出数N.,解,.,.,要使|x n0|,则nN,有|xn0|.,当 0.001时,习题1181、,例1.,(12),0,例2,证,要使,只须,即,0,当nN时,有,所以,证明,取,习题1192、,例3、,根据数列极限的定义证明:,2、,3、,0,要使,只须,即,当nN时,有,证明,取,所以,结束,例2.证明,证:0,要使,则当nN时,有,(3),例4.设q是满足|q|1的常数,证明,证.若 q=0,结论显然成立.,0.,设 0|q|1.,现在,xn=qn,a=0.,因|xn a|=|qn 0|=|qn|=|q|n,要使|xn a|,(5),只须|q|n.,即 n ln|q|ln,取正整数,则当 n N 时,有,从而有,|qn 0|,|q|n,(6),
