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1、,二、无界函数的反常积分,第四节,常义积分,积分限有限,被积函数有界,推广,一、无穷限的反常积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,反常积分,(广义积分),反常积分,第五章,一、无穷限的反常积分,引例.曲线,和直线,及 x 轴所围成的开口曲,边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、定义1：,以上每个极限都存在，则其对应的积分收敛，否则发散。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引入记号,2.广义的 Newton Leibniz 公式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.计算反常积分,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,分析:,原积分
2、发散!,注意:对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用,“奇偶函数积分”的性质,否则会出现错误.,例2.证明第一类 p 积分,证:当 p=1 时有,当 p 1 时有,当 p 1 时收敛;p1,时发散.,因此,当 p 1 时,反常积分收敛,其值为,当 p1 时,反常积分发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.计算反常积分,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业：P260 1(2),(3),(4),(5),(6),二、无界函数的反常积分,引例:曲线,所围成的,与 x 轴,y 轴和直线,开口曲边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、定义2：无界点
3、称为瑕点,以上每个极限都存在，则其对应的积分收敛，否则发散。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,a 点为瑕点,b 点为瑕点,a,b点为瑕点,c 点为瑕点,若瑕点,若 b 为瑕点,若 a 为瑕点,若 a,b 都为瑕点,不可抵消！,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.广义的 Newton Leibniz 公式:,若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类,说明:,例如,间断点,而不是反常积分.,则本质上是常义积分,下述解法是否正确:,积分收敛,例4.计算反常积分,解:显然瑕点为 a,所以,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.讨论反常积分,的收敛性.,解:,所以反常积分,发散.,例6
4、.证明反常积分,证:当 q=1 时,当 q 1 时收敛;q1,时发散.,当 q1 时,所以当 q 1 时,该广义积分收敛,其值为,当 q 1 时,该广义积分发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.反常积分,积分区间无限,被积函数无界,常义积分的极限,2.两个重要的反常积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互,相转化.,例如,(2)当一题同时含两类反常积分时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,提示:P260 题2,求其最大值.,作业：P260 1(2),(3),(4),(5),(6)(9)(10)2（选作），3（选作）,补充题 1.试证,并求其值.,解:,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,解：,求,的无穷间断点,故 I 为反常,积分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
