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1、一、问题的提出,二、多元函数的极值和最值,三、条件极值拉格朗日乘数法,第九节,多元函数的极值及其求法,实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？,一、问题的提出,1、二元函数极值的定义,二、多元函数的极值和最值,2、多元函数取得极值的条件,证,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,例4.,求函数,解:第一步 求驻点.,第二步 判别.,的极
2、值.,求二阶偏导数,解,解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此 z(0,0)不是极值.,因此,为极小值.,正,负,0,并且在(0,0)都有,可能为,求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,3、多元函数的最值,注：若函数在D内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值即为函数在D上的最大值（最小值）.,解,由,例8.,解:设水箱长,宽分别为 x,y m,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一
3、个体积为2,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时,水箱所用材料最省.,实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果,问题的实质：求 在条件 下的极值点,三、条件极值拉格朗日乘数法,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值:,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自
4、变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如,方法2 拉格朗日乘数法.,解,则,练习：,例10.,要设计一个容量为,则问题为求x,y,令,解方程组,解:设 x,y,z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小.,z 使在条件,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱,试问,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.,因此,当高为,思考:,1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?,提示:利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价,最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?,提示:,长、宽、高尺寸相等.,内容小结,3.函
5、数的最值问题,1.已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2),试在椭圆,圆周上求一点 C,使,ABC 面积 S最大.,解答提示:,设 C 点坐标为(x,y),则,思考题：,设拉格朗日函数,解方程组,得驻点,对应面积,而,比较可知,点 C 与 E 重合时,三角形,面积最大.,点击图中任意点动画开始或暂停,2.求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.,解:设内接三角形各边所对的圆心角为 x,y,z,则,它们所对应的三个三角形面积分别为,设拉氏函数,解方程组,得,故圆内接正三角形面积最大,最大面积为,为边的面积最大的四边形,试列出其目标函数和约束条件?,提示:,目标函数:,约束条件:,答案:,即四边形内接于圆时面积最大.,3.求平面上以,
