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1、,第五章 定积分及其应用,第一节 定积分及其计算,第二节 定积分在几何上的应用,第三节 定积分在物理上的应用,第二节 定积分在几何上的应用,一.定积分的微元法,二.定积分求平面图形的面积,本节主要内容:,三.定积分求体积,四.平面曲线的弧长,一.定积分的微元法,设曲边梯形由连续曲线,以及两直线,所围成,曲边梯形的面积,解决步骤:,1)分割,2)取近似,3)求和,4)取极限,设函数 y=f(x)在a,b上连续,(1)在区间a,b上任取小区间x,x+dx,相应地小区间上面积的近似值为:A f(x)dx,(2)将这些面积元素在a,b上“无限累加”得,应用微元法解决定积分应用问题的步骤是:,1)选取积
2、分变量,确定它的变化区间a,b;,2)在区间a,b上任取一个小区间x,x+dx,并在小区间上找出所求量F的微元 dF=f(x)dx(局部近似值);,3)求定积分,二.定积分求平面图形的面积,(一)直角坐标系下平面图形面积的计算,曲边梯形的面积,面积微元:,曲边梯形的面积,面积微元:,X-型,曲边梯形的面积:,面积微元:,Y-型,例1 求由 y2=x,y=x2 所围成的图形的面积,选 x 为积分变量 x0,1,两曲线的交点(0,0),(1,1),面积微元:,例2 求由 y2=2x,y=x-4 所围成的图形的面积,问题 若选x为积分变量呢？,例3 求由 y=cosx,y=sinx 在区间 0,上所
3、围成的图形的面积.,两曲线的交点,设曲边梯形的曲边参数方程为,其面积的计算公式可由直角坐标下曲边梯形的面积公式经过定积分的换元法得到:,例4 求摆线的一拱与 x 轴围成的图形的面积.,例5 求椭圆 的面积.,在平面内取一个定点O,从O引一条射线Ox,选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方),这样就建立了一个极坐标系,O点叫做极点,射线Ox叫做极轴.,极坐标系是由一个极点和一个极轴构成,极轴的方向为水平向右.,极点;极轴;长度单位;角度单位和它的正方向,构成了极坐标系的四要素,缺一不可.,设M点是平面内任意一点,用表示线段OM的长度,表示射线Ox到OM的角度,那么叫做M点的
4、极径,叫做M点的极角,有序数对(,)叫做M点的极坐标.,如果是正的,则在OP上取一点M使得OM=;如果是负的,则在OP的反向延长线上取一点M使得OM=.极角为正表示逆时针旋转,为负表示顺时针旋转.,O,M,P,极坐标化直角坐标公式,直角坐标化极坐标公式,(二)极坐标系下面积的计算,曲边扇形是由曲线()及射线,()所围成的图形.,1.取极角为积分变量,其变化区间为,以圆扇形面积近似小曲边扇形面积,得到面积元素:,3.作定积分,例6 计算心形线=a(1+cos)所围图形的面积,解 由对称性,求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:,设立体介于平面 x=a,x=b之间,立体内垂直于x 轴的截面面积为
5、A(x).,三.定积分求体积,(一)平行截面面积为已知的立体体积,A(x),dV=A(x)dx,x,.,a,V,b,体积元素为dv=A(x)dx.,例7 设有底圆半径为R的圆柱,被一与圆柱面交成角且过底圆直径的平面所截,求截下的锲形体积.,o,y,R,x,y,R,R,y tan,(x,y),截面积,A(x),(二)旋转体的体积,旋转体由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体.这条直线叫做旋转轴.,f(x),a,b,曲边梯形:y=f(x),x=a,x=b(ab),y=0 绕 x 轴旋转,旋转体的体积元素 考虑旋转体内点 x 处垂直于x轴厚度为dx的切片,用圆柱体的体积 f(x)2 dx
6、 作为切片体积的近似值,旋转体的体积,于是体积元素为 dVf(x)2dx.,当考虑连续曲线段,绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,绕x轴旋转的椭球体,它可看作上半椭圆,例8 求由椭圆 分别绕 x 轴及 y 轴旋转 而成的椭球体的体积.,与x轴围成的平面图形绕x轴旋转而成,旋转椭球体的体积为,绕 y 轴旋转的椭球体,它可看作右半椭圆,与y轴围成的图形绕 y 轴旋转而成,旋转椭球体的体积为,例9 把抛物线 y24ax(a0)及直线 x x0(x00)所围成的图形绕 x 轴旋转 计算所得旋转体的体积.,旋转椭球体的体积为,例10 由yx3 x2 y0所围成的图形 分别绕x轴及y轴旋转 计算所得两个旋转体的体积,绕 x 轴旋转所得旋转体的体积为,绕 y 轴旋转所得旋转体的体积为,四.平面曲线的弧长,曲线弧由直角坐标方程给出:,弧长元素(弧微分):,因此所求弧长,曲线弧由参数方程给出:,弧长元素(弧微分):,因此所求弧长,例11 计算曲线 上相应于 x 从 a 到 b 的一段弧的长度.,例12 计算摆线 一拱 的弧长.,例13 求星形线 的弧长.,根据对称性,第一象限部分的弧长,1.定积分的微元法,2.定积分求平面图形的面积,内容小结:,3.定积分求体积,4.平面曲线的弧长,(1)平行截面面积为已知的立体体积,(2)旋转体的体积元素,
