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1、无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,傅氏级数,第十二章,常数项级数的概念和性质,一、常数项级数的概念,二、无穷级数的基本性质,三、级数收敛的必要条件,*四、柯西审敛原理,第一节,第十二章,一、常数项级数的概念,引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积 A.,设 a0 表示,即,内接正三角形面积,ak 表示边数,增加时增加的面积,则圆内接正,引例2.(神秘的康托尔尘集),把0,1区间三等分,舍弃中,间的开区间,将剩下的两个子区间分别三等分,并舍弃,在中间的开区间,如此反复进行这种“弃中”操作,问
2、丢弃部,分的总长和剩下部分的总长各是多少？,丢弃的各开区间长依次为,故丢弃部分总长,剩余部分总长,剩余部分总长虽然为0,但康托尔证明了其成员和实数“一样多”,它们象尘埃一样散落在0,1区间上,人们称其为康托尔尘集.,(此式计算用到后面的例1),引例3.,小球从 1 m 高处自由落下,每次跳起的高度减,问小球是否会在某时刻停止运动?说明道理.,由自由落体运动方程,知,则小球运动的时间为,(s),设 tk 表示第 k 次小球落地的时间,(此式计算用到 后面的例1),少一半,定义：,给定一个数列,将各项依,即,称上式为无穷级数，,其中第 n 项,叫做级数的一般项,级数的前 n 项和,称为级数的部分和
3、.,次相加,简记为,收敛,则称无穷级数,并称 S 为级数的和,记作,当级数收敛时,称差值,为级数的余项.,则称无穷级数发散.,显然,例1.讨论等比级数,(又称几何级数),(q 称为公比)的敛散性.,解:1)若,从而,因此级数收敛,从而,则部分和,因此级数发散.,其和为,2).若,因此级数发散;,因此,n 为奇数,n 为偶数,从而,综合 1)、2)可知,时,等比级数收敛;,时,等比级数发散.,则,级数成为,不存在,因此级数发散.,例2.判别下列级数的敛散性:,解:(1),所以级数(1)发散;,技巧:,利用“拆项相消”求和,(2),所以级数(2)收敛,其和为 1.,技巧:,利用“拆项相消”求和,例
4、3.,判别级数,的敛散性.,解:,故原级数收敛,其和为,二、无穷级数的基本性质,性质1.若级数,收敛于 S,则各项,乘以常数 c 所得级数,也收敛,证:令,则,这说明,收敛,其和为 c S.,说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.,即,其和为 c S.,性质2.设有两个收敛级数,则级数,也收敛,其和为,证:令,则,这说明级数,也收敛,其和为,说明:,(2)若两级数中一个收敛一个发散,则,必发散.,但若二级数都发散,不一定发散.,例如,(1)性质2 表明收敛级数可逐项相加或减.,(用反证法可证),性质3.,在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数,的敛散性.,证:将级数,的前 k 项去掉,的
5、部分和为,数敛散性相同.,当级数收敛时,其和的关系为,类似可证前面加上有限项的情况.,极限状况相同,故新旧两级,所得新级数,性质4.,收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数,的和.,证:设收敛级数,若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列,为原级数部分和,序列,的一个子序列,推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.,注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,但,发散.,因此必有,例如，,用反证法可证,例如,三、级数收敛的必要条件,设收敛级数,则必有,证:,可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.,例如,其一般项为,不趋于0,因此这个级数发散.,注意:,并非级数收敛的充分条件.,例
6、如,调和级数,虽然,但此级数发散.,事实上,假设调和级数收敛于 S,则,但,矛盾!,所以假设不真.,例4.判断级数的敛散性:,解:考虑加括号后的级数,发散,从而原级数发散.,例5.判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:,解:(1)令,则,故,从而,这说明级数(1)发散.,因,进行拆项相消,这说明原级数收敛,其和为,(2),这说明原级数收敛,其和为 3.,(3),的充要条件是:,*四、柯西审敛原理,定理.,有,证:,设所给级数部分和数列为,因为,所以利用数列,的柯西审敛原理(第一章,第六节),即得本定理的结论.,例6.,解:,有,利用柯西审敛原理判别级数,当 nN 时,都有,由柯西审敛原理可知,级数,作业 P253 1(1),(3)；2(2),(3),(4)；3(2)；4(1),(3),(5);*5(3),(4),第二节,
