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7.5 二元函数偏导数的应用,在几何上的应用,二元函数极值的求法,小结,思考与练习,1.空间曲线的切线与法平面,在几何上的应用,即,例1,解,于是，切线方程为,法平面方程为,2.曲面的切平面方程与法线方程,为,例2,解,或,法线方程为,1、二元函数的极值,二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决。,定理7.7(极值存在必要条件),使,二元函数极值的求法,定理7.8（极值存在充分条件）,令,第一步,第二步,第三步,例3,解,（1）求驻点,解方程组,（2）判断驻点是否极值点，,若是，说明取得极值情况,又由于,2.条件极值与拉格朗日乘数法,在前面所讨论的极值中，除对自变量给出定义域外，并,无其它条件限制，我们把这一类极值称为无条件极值，而把,对自变量还需附加其他条件的极值问题称为条件极值。条件,条件极值问题有如下两种解法。,方法1,例4,解,由一元函数极值存在的必要条件，得,所以,方法2（拉格朗日数乘法）,这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。,至于如何确定所求得的点是否为极值点，是极大值点还,是极小值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。,例5,解,作辅助函数,令,由前三式，得,即当长方体的长、宽、高相等时，长方体的体积最大。,注:求二元函数极值的方法(1)换元法。(2)拉格朗日数乘法。,作业,P142 习题18 习题19 习题21,
