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1、11/6/2023,高等数学课件,二次曲面的简单介绍,第五节 曲面与曲线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二次曲面,第八章,11/6/2023,高等数学课件,二次曲面,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍.,研究二次曲面特性的基本方法:截痕法,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0),机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/6/2023,高等数学课件,1.椭球面,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/6/2023,高等数学课件,与,的交
2、线为,(4)当 ab 时为旋转椭球面;,同样,的截痕,及,也为椭圆.,当abc时为球面.,(3)截痕:,为正数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,椭圆：,11/6/2023,高等数学课件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,椭圆的三维立体图形,11/6/2023,高等数学课件,2.抛物面,(1)椭圆抛物面,(p,q 同号),特别,当 p=q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/6/2023,高等数学课件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)双曲抛物面（鞍形曲面）,(p,q 同号),11/6/2023,高等数学课件,机动 目录 上页 下页 返回 结束
3、,(p,q 同号),截痕法：,，得两条相交的直线。,11/6/2023,高等数学课件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(p,q 同号),截痕法：,，得一对双曲线。,11/6/2023,高等数学课件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(p,q 同号),截痕法：,，得一对反向的双曲线。,11/6/2023,高等数学课件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(p,q 同号),截痕法：,，得开口向上的抛物线。,11/6/2023,高等数学课件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(p,q 同号),截痕法：,，得开口向下的抛物线。,11/6/2023,高等数学课件,3.双曲面,(1)单叶双曲面,椭
4、圆.,时,截痕为,(实轴平行于x 轴；,虚轴平行于z 轴）,平面,上的截痕情况:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,双曲线:,11/6/2023,高等数学课件,虚轴平行于x 轴）,时,截痕为,时,截痕为,(实轴平行于z 轴;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,相交直线:,双曲线:,11/6/2023,高等数学课件,(2)双叶双曲面,双曲线,椭圆,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,双曲线,单叶双曲面,双叶双曲面,P18 目录 上页 下页 返回 结束,图形,11/6/2023,高等数学课件,4.椭圆锥面,椭圆,在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线.,可以证明,椭圆上任一点与原点的
5、连线均在曲面上.,(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换,得到。),机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/6/2023,高等数学课件,例1 说明二次曲面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的类型。,解 当p=0,q=0时，,是抛物柱面;,当,是椭圆抛物面;,是双曲抛物面;,当,是椭圆柱面;,11/6/2023,高等数学课件,是双曲柱面;,当,是椭球面;,是单叶双曲面;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/6/2023,高等数学课件,是双叶双曲面;,是单叶双曲面;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/6/2023,高等数学课件,例2 设空间曲面由双参数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,给出，试求出此曲面的一般表达式。,解,由参数方程可得,解出,所以,双曲抛物面,11/6/2023,高等数学课件,二次曲面,三元二次方程,椭球面,抛物面:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,小结：,
