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1、4 表象理论,4-1 矢量和算符的矩阵表示,4-2 表象变换,4-3 若干矩阵计算,4-4 连续本征值情况,4-1 矢量和算符的矩阵表示,K表象：取几个有物理意义的厄米算符构成对易完备组K，用它们的共同本征矢量作为基矢：,完备性关系：,一、矢量的矩阵表示,右矢对应于一列矩阵：,(4.1),将左矢对应一行矩阵：,(4.2),二、内积的矩阵表示,三、算符的矩阵表示,算符对应于方矩阵：,四、公式的矩阵表示：,(4.3),(4.4),(4.5),于是有,即,本征值方程：,移项，得,久期方程：,解久期方程得本征值：,代入本征方程可得本征矢量：,4-2 表象变换,（4.7）,两组基之间的关系是,（4.8）
2、,（4.9）,（4.10）,式中,（4.11）,显然,（4.12）,（4.13）,（4.14）,即,即,（4.15）,1、矢量的表象变换,或写成矩阵形式：,（4.16）,同样，相反的关系是,（4.17）,（4.15）和（4.17）两式就是矢量的表象变换。,2、算符的表象变换,右边是三个矩阵相乘，相反的关系是,（4.18）、（4.19）式就是算符的表象变换。,于是,即,（4.18）,（4.19）,4-3 若干矩阵运算,1、矩阵的迹：,迹的重要性质是,(4.20),(4.21),2、矩阵的行列式,det,(4.22),矩阵的行列式的最重要的性质是,证明：,det,3、矩阵的相似变换,我们定义:一个
3、算符的迹和行列式为在任何表象中的矩阵的迹和行列式，因为后者的值在表象变换下是不变的。,(4.25),(4.26),定理：任何厄米矩阵都可以通过相似变换（实际上是幺正变换）成为对角矩阵。,（4.27）,（4.28）,这个幺正矩阵U就可以把厄米矩阵A对角化。,所以,其次证明厄米矩阵A经过U的幺正变换后确是对角矩阵。,于是，上式成为,4-4 连续本征值情况,设在无穷维空间中取K表象，而厄米算符（或对易的厄米算符完备组）K具有在某一区间内的连续本征值谱。,完全性关系：,(4.30),(4.31),(4.32),两个矢量的内积可以用函数形式表出：,(4.33),(4.34),K表象：,而所有的运算都是矩阵的乘法，对于连续表象，原来对i的取和改变为对k的积分。,
