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1、经济计量方法与模型Techniques and Models of Econometrics,中南大学商学院,Business School,Central South University,第2章 经典线性回归模型,2.1 经典线性回归模型的概念 一、回归模型 以消费函数为例。Y：消费支出，X：收入水平,1 Y与X之间是相关关系；2 Y对X的回归曲线是指当X取某些值时，Y的条件数学期望的各点轨迹。总体回归函数就是Y对X的条件期望函数。,.,.,x1,x2,E(y|x)as a linear function of x,where for any x the distribution of y
2、 is centered about E(y|x),E(y|x)=b0+b1 x,y,f(y),x,总体回归函数 Xi)=f(Xi)函数为线性时：Xi)=某个家庭的消费支出：Xi)+（总体回归模型）3样本回归函数 与总体回归函数=相类似，样本回归函数可写成：（是）的估计式）样本回归模型：,：随机误差项。,二、经典线性回归模型,1 普遍形式 矩阵形式：,2 经典线性回归模型的基本假定,（1）关于数据矩阵X的假定 解释变量 是确定性变量，不是随机变量；解释变量之间不相关，即 之间不存在多重共线性。解释变量与随机误差项之间不相关：,（2）关于随机误差项 u 的假定,u 正态分布 零均值假定：方差齐性
3、（同方差）假定：无序列相关假定：I：单位矩阵,（2）关于随机误差项 u 的假定,.,.,x1,x2,Homoskedastic Case,E(y|x)=b0+b1 x,y,f(y|x),x,.,x,x1,x2,y,f(y|x),Heteroskedastic Case,x3,.,.,E(y|x)=b0+b1 x,2.2 最小二乘估计,一、一元线性回归模型时 总体回归模型：样本回归模型：回归方程：残差：,如何使估计值 尽可能地接近 的实际值？方法有三种：（1）使残差总和 达到最小；（2）使残差的绝对值总和 达 到最小；（3）使残差平方和 达到最小。,.,.,.,.,Y4,Y1,Y2,Y3,X1,
4、X2,X3,X4,e1,e2,e3,e4,X,Y,Sample regression line,sample data pointsand the associated estimated error terms,回归直线方程：,注意到：是的非负二次函数，因此，最小值点存在且唯一，应满足以下方程组：,求得：,其中，,二、多元线性回归模型时,1 B 的估计 总体回归模型：样本回归模型：,OLS法：,因为，假定 Rank(X)=k+1，则 Rank（）=k+1，所以，（）可逆，即存在。OLSE：,2 的估计,在 得到后，进一步来估计U的分布参数。方差 的估计量为：,残差向量：残差平方和：M：等幂矩
5、阵。,M 具有如下性质：（1）对称性：（2）等幂性：（3）半正定矩阵：因为，而 所以，M是一个半正定矩阵。可见，是 11 阶矩阵，所以，表示矩阵的迹，其定义为矩阵主对角线元素之和。如：,矩阵的迹 tr 具有以下特性：（1）（2）如果 A 和 B 是同阶矩阵，则（3）如果 ABC、BCA、CAB 均有意义，则,若取：则：即 是 的无偏估计量。,2.3 估计量的性质,一、线性特性 即 是Y（或U）的线性函数。,二、无偏性,即 的数学期望等于总体参数真值B，三、方差最小的特性（有效性）即在参数B的所有线性无偏估计量中，OLSE 具有最小方差。的方差-协方差矩阵：,下面证明OLSE 具有最小方差的特性
6、。设 也是B的一个线性无偏估计量，是 阶矩阵。,因为M是半正定矩阵。,Gauss-Markov定理：在经典线性回归模型的假定下，在参数 B的所有线性无偏估计量中，B的 的 方差最小。下面证明 具有最小方差的特性。设 是B的任一线性无偏估计，即 令，则：因为，所以,The Gauss-Markov Theorem,Given our 5 Gauss-Markov Assumptions it can be shown that OLSE is“BLUE”Best Linear Unbiased Estimator Thus,if the assumptions hold,use OLS,的方差-
7、协方差矩阵为：其中，是非负定矩阵。即 可见，对于任何i，有,令 C 是一个（k+1）1 阶常数列向量，则 OLSE 是 的一个线性无偏估计量。下面证明OLSE 具有最小方差的特性。设 也是 的一个线性无偏估计量，则,因为，M是半正定矩阵,四、一致性（大样本性质）,概念：如果估计量 为参数 的一致性估计量，则 依概率收敛于。即对任给 有 或。其含义是：当样本容量趋于无穷大时，的抽样分布趋向于集中在 上，即 的抽样分布收缩成为单一点。记作,Consistency,Under the Gauss-Markov assumptions OLSE is BLUE,but in other cases i
8、t wont always be possible to find unbiased estimators.In those cases,we may settle for estimators that are consistent,meaning as n,the distribution of the estimator collapses to the parameter value.,Sampling Distributions as n,b1,n1,n2,n3,n1 n2 n3,定理：对于经典线性回归模型 Y=XB+U，如果 有限且非奇异（即存在逆矩阵），则参数 B 的 OLSE 是 B 的一致估计。,五、估计量 和 的分布,1 的分布 2 有关 的一个分布（1）服从自由度为 的 分布：（2）和 相互独立。,3有关统计量的分布（抽样分布）（1）统计量 如果 是相互独立的标准正态分布变量，也即每个，则 服从自由度为n的 分布。,（2）统计量 如果，而另一变量 X2 服从自由度为 k的 分布，并且与 X1 相互独立，则如下定义的变量 服从自由度为 k 的 分布。（3）F 统计量 如果 X1 和 X2 是独立分布的 变量，其自由 度分别为 和，则变量 F 服从自由度为（，）的 F 分布。,
