大气科学专业流体力学第二章基本方程.ppt

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1、1,流体力学 李忠贤南京信息工程大学大气科学学院,20102011学年第2学期课程,2,第二章基本方程,流体运动同其他物体的运动一样，同样遵循质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律。本章将介绍描述流体运动的连续方程、运动方程和能量方程。,3,主要内容：第一节连续方程 第二节作用于流体的力、应力张量 第三节运动方程 第四节能量方程 第五节 简单情况下的N-S方程的准确解,第二章基本方程,4,第一节连续方程,连续方程是流体力学的基本方程之一，它是在质量守恒定律在流体力学中的应用。流体运动的连续方程，反映流体运动和质量分布的关系，,重点讨论几种不同表现形式的流体连续方程。,5,1、拉格郎日(La

2、grange)观点下的流体连续方程,Lagrange 观点下质量守恒定律：某一流体块（流点）在运动过程中，尽管其体积和形状可以发生变化，但其质量是守恒不变的。,拉格郎日型连续方程,6,Lagrange 观点下连续方程的物理意义,？,7,对于不可压缩流体，它在流动过程中每个流点的密度始终保持不变，应有，此时流体的连续性方程为：,8,例2-1-1判断下列流体运动是否为不可压缩？,9,利用欧拉控制体积法导出流体的连续方程的微分形式。在空间上选取一无限小的控制体，如图所示。,2、欧拉(Euler)观点下的流体连续方程（一）,单位时间内通过左侧面流入控制体的流体质量为：,单位时间内通过右侧面流出控制体的

3、流体质量为：,单位时间内x方向上流体通过控制体的质量净流出量为：,10,类似可得到y、z方向上的表达式，单位时间内通过整个控制体的流体净流出量为：,单位时间内，该控制体内的质量减少为：,根据质量守恒定律，对于固定的控制体，单位时间内流出控制体的流体质量应等于单位时间内该控制体内质量的减少，由此得到：,11,2、欧拉(Euler)观点下的流体连续方程（二）,拉格郎日型连续方程,欧拉型连续方程,12,欧拉型连续方程的物理意义,单位体积的流体质量通量,13,对于流体的定常运动，有,流体的连续性方程可写为：,可知，在定常运动中，通过任意控制体表面流体质量的净流入量等于零，即单位时间内流出控制体表面的质

4、量等于流进控制体表面的质量。,14,对于沿流管的定常流动，设流速与截面垂直，且密度和流速在任意截面内为定值，则沿流管的连续方程：,15,3、具有自由表面的流体连续方程,通常把自然界中水与空气的交界面称为水面或水表面。,这种因流动而伴随出现的可以升降的水面，在流体力学中称之为自由表面。,16,假设流团密度为，考虑流体运动为二维的，即满足：，取流向方向为 x 轴。设流体自由表面高度为，即 h 在各处高低不同且可以随时间变化。,具有自由表面的流体连续方程的导出：,17,在流体中，选取一个以 为底的长方形柱体，该柱体是一底面固定不动的空间区域，称为控制区。,流体可以通过控制区的侧面，沿x轴方向流出、流

5、入该柱体。,18,经流体柱后侧流入的流体质量应为：,同时，经流体柱前侧流出的质量为：,考虑柱体内流体的质量为：,流入质量=,流出质量=,19,流出质量减去流入质量 柱体内的净流出量柱体内质量的减少。,流出质量=,流入质量=,柱体内流体的质量减少为：,20,*积分上限 h 为x，y，t的函数，可变上限的积分规则：,对上式两项展开，左端项为：,21,*积分上限 h 为x，y，t的函数，可变上限的积分规则：,右端项为：,22,考虑到 与 z 无关，并消掉等式两端公共项 可得：,23,可以得到：,考虑水为不可压缩的，根据连续方程有：,24,讨论时流向仅取x轴。如流向取平面上的任意方向，上式可写为：,这

6、就是用自由表面高度所表示的连续方程。,进一步有：,均匀流体,自由表面附近的流体（浅流体）,25,具有自由表面的流体连续方程,欧拉型连续方程,水,空气,26,具有自由表面的流体连续方程的物理意义？,通常流向取平面上的任意方向,它是讨论水面波动及简单的大气动力学问题所经常用到的。,27,1、作用于流体的力,分析对象：流体中以界面 包围的体积为 的流体块,第二节 作用于流体的力、应力张量,28,质量力,1定义：质量力是指作用于所有流体质点的力。如重力、万有引力、电磁力等。,2特征：（1）质量力是一种长程力：质量力随相互作用的元素之间的距离的增加而减小，但对于一般流体的特征运动距离而言，质量力均能显示

7、出来。（2）质量力是一种分布力，分布于流体块的整个体积内，流体块所受的质量力与其周围有无其他流体无关。,通常情况下，作用于流体的质量力通常就是指重力。,29,如果 表示单位质量的流体的质量力：,其中 是作用在质量为 的流体块上的质量力。不难看出，可以看做质量力的分布密度。,例如：对处于重力作用的物体而言，质量力的分布密度就是重力加速度。,30,表面力,1定义：表面力是指流体内部之间或者流体与其他物体的接触面上所受到的相互作用力。,如流体内部的粘性力和压力、流体与固体接触面上的摩擦力等。,31,表面力的特征：（1）表面力是一种短程力：源于分子间的相互作用。表面力随相互作用元素之间的距离增加而迅速

8、减弱，只有在相互作用元素间的距离与分子距离同量级时，表面力才显现出来。,（2）流体块内各部分之间的表面力是相互作用而相互抵消的。,（3）表面力也是一种分布力，分布在相互接触的界面上。,32,定义单位面积上的表面力（即：表面应力）为：其中 是作用于某个流体面积上 的表面力,例如：流体受到的表面力为压力，就是压强。,33,矢量 是质量力的分布密度，它是时间和空间点的函数，因而构成了一个矢量场。而矢量 为流体的应力矢量，它不但是时间和空间点的函数，并且在空间每一点还随着受力面元的取向不同而变化。所以要确定应力矢量，必须考虑点的矢径、该点受力面元的方向（或者说面元的法向单位矢量）以及时间 t。确切地说

9、应力矢是两个矢量（、）和一个标量的函数 t。,质量力和表面力的比较,质量力和表面力有着本质的差别。,34,2、应力张量,取如图所示的流体四面体元，分析其受力情况。,M,x,y,z,A,B,C,质量为,质量力为,表面力？,35,M,x,y,z,A,B,C,为了区分不同面元所受到的表面力，将 应力矢量的下标取其受力面元的外法向方向，并且规定为外法向流体对另一部分流体施加的应力。,36,根据牛顿第二定律，,M,x,y,z,A,B,C,根据作用力与反作用力原理,37,根据作用力与反作用力原理，方程可以写成如下形式：,38,39,M,x,y,z,A,B,C,考虑面元 与 的关系：,P,P,A,M,K,x

10、,40,x,y,z,A,B,C,考虑各面元间的关系：,41,将其在直角坐标系中展开，则有：,42,引进应力张量：,43,对应力分量的下标作如下规定：第一个下标表示受力面元的外法向方向；第二个下标表示受到的应力矢量所投影的方向。,应力分量 的物理含义：,例2-2-1 说明应力、表示的物理含义。,44,法应力和切应力,45,例2-2-1已知流体中某点的应力张量为 试求作用于通过该点，方程为 的平面上的法应力和切应力。,46,例2-2-2流体中的应力张量为 试求位于点（1，2，3）的法应力。,47,其中 为反映流体粘性的粘性系数或内摩擦系数；而流体与其他物体的粘性系数则称为外摩擦系数。,牛顿粘性假设

11、,牛顿粘性定律建立了粘性应力与流速分布之间的关系。,3、应力张量与流体运动状态间的关系,48,广义牛顿粘性假设,牛顿粘性定律建立了粘性应力与流速分布之间的关系，但它的不足在于仅仅适用与流体直线运动。,牛顿将以上的粘性应力与形变率的关系推广到任意粘性流体运动，即广义牛顿粘性假设：,49,说明：根据广义牛顿粘性假设的应力张量计算得到的应力包含了流体压力和流体粘性力两部分即：,不可压流体,50,牛顿粘性流体的概念：满足牛顿广义粘性假设的流体。,给定流体的粘性系数和流体运动流速场，根据牛顿粘性假设，就可以计算得到流体的粘性应力。,51,52,例2-2-4设速度场为：，试求位于 的单位质量长方体（高为）

12、作用在顶面和底面上的粘性应力。,53,第三节 运动方程,流体的运动方程（普遍形式）纳维-斯托克斯（N-S）方程（具体形式）欧拉方程（理想流体的运动方程）静力方程（最简单情形的运动方程）,54,在运动流体中选取一小六面体体元，其边长分别为：,为了导出流体的运动方程，首先来分析小体元的受力情况。,一、流体的运动方程,根据牛顿第二定律：,55,x 方向质量力分析,x方向的质量力,56,小体元所受到前后侧面的沿x方向上表面力合力：,x 方向受到的表面力合力分析,周围流体对小体元的六个表面都有表面力的作用,后侧面：,x,?,前侧面：,57,因此，周围流体通过六个侧面作用于小体元沿x方向的表面力合力为：,

13、右左侧面：,上下侧面：,58,根据牛顿运动定律：小体元受到的合外力等于其质量与加速度的乘积。,x 方向合力分析,单位质量流体在 x 方向的运动方程,方程可以简化为：,59,单位质量流体在 y 方向的运动方程,单位质量流体在 z 方向的运动方程,同理可得：,60,矢量形式,或者：,流体运动方程的普遍形式,61,分析对象：流体中以界面 包围的体积为 的流体块,根据牛顿第二定律,流体运动方程的普遍形式,62,应用奥高公式，将以上曲面积分转化为体积分，则有：,当曲面面元向内无限收缩时，即体积元趋向于零：,63,二、纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程,流体运动方程的普遍形式,纳维-斯托克斯

14、方程,广义牛顿粘性假设,64,流体运动方程的普遍形式,广义牛顿粘性假设,这就是适合牛顿粘性假设的流体运动N-S方程。,法国工程师Navier英国数学家Stokes,65,66,定义 流体运动学粘性系数，记作。,直角坐标系中形式为：,对于不可压流体,N-S方程简化为：,67,其中 是单位质量流体的加速度，为单位质量流体所受的质量力。压力梯度力粘性（粘滞）力,方程物理意义的讨论：,68,方程右端的第二项，对于某一流体块，有从而得到：即为周围流体通过单位质量流点的表面，对其所产生的压力的合力矢量，将其称为压力梯度力。,69,仅考虑压力梯度力的作用,高压中心,低压中心,大气的运动形式？,70,仅考虑流

15、体作直线运动,对于某一流体块其受到的粘滞力,U小,U大,当四周流体速度大于所考虑的流体块时，粘滞力为曳力；当四周流体速度小于所考虑的流体块时，粘滞力为阻力；,71,东亚副热带急流中心受到的粘滞力大于0，小于0，等于0？,仅考虑流体作直线运动,72,仅考虑流体作直线运动,上层流体运动，图中处于静止状态的流体块受到的粘滞力大于0，小于0，等于0？,73,仅考虑流体作直线运动,流体运动达到稳定状态（定常），图中流体块受到的粘滞力大于0，小于0，等于0？,74,3、欧拉方程,理想流体（不考虑流体粘性），则纳维-斯托克斯方程：,可以简化，相当于去掉方程中含有粘性的项。于是，方程简化为：,欧拉方程：,理想

16、流体的运动方程,75,例2-3-1已知流场 u=ay，v=bx，w=0，其中a、b为常数，试根据不计质量力和流体粘性的运动方程，导出 等压线方程。,76,如流体静止时，即流体的速度和加速度的个别变化均为零，作用于流体的力应该达到平衡。此时，可得如下形式方程：即所谓的静力方程。它表明了流体的粘性只与流体的运动状态有关，或者说流体的粘性只有在相对运动时才体现出来。,4、静力方程,77,假设流体所受的质量力就是重力，静力方程可以变化为：,上式表明：当流体静止时，作用于单位截面积流体柱的顶面、底面上的压力差，正好等于流体柱的重力；,静力方程应用：,78,静力平衡条件下A点受到的压力？,x,z,0,h,

17、A,在大尺度大气运动中，垂直运动速度很小（1/100 m/s），大气科学中常用到静力方程(静力平衡)：,静力平衡的应用：,79,已知 为定义在某物质体上的标量，试证明：,80,单位时间总外力的作功率,内能,动能,单位质量的物质：,第四节 能量方程,吸收或者释放的热量q,研究对象,流体中以界面 包围的体积为 的流体块,单位时间总外力的作功率,内能,动能,吸收或者释放的热量,81,外界对系统所作的功率吸收或释放的热量,（内能+动能）的变化率,流体中以界面 包围的体积为 的流体块,研究对象,82,方程变换,总能量的变化项：,热流量的变化率,83,表面力作功率项：,84,可以改写为：,单位质量流体的能

18、量方程，它是能量守恒定律在流体运动中的具体表现形式。,流体块的能量守恒方程,85,动能方程,根据流体的运动方程,上式两端同乘速度矢量,右端第二项展开后，则有：,86,单位质量流体微团的动能方程,利用广义牛顿粘性假设,87,单位质量流体微团的动能方程,物理意义：,质量力作功率,表面力作功率,外力作功率引起的动能变化,88,E恒为正值,粘性耗散项,动能,内能？,89,膨胀、收缩在压力作用下引起的能量转换项：,膨胀,收缩,动能,内能？,动能,内能？,流体压缩性,90,热流量方程,用能量方程减去动能方程 反映内能变化率的热流量方程,91,对于理想流体，即考虑无粘性，热流量方程简化为：,“热力学第一定律

19、”能量转换和守恒定律在大气科学中所用的的形式。,92,例2-4-1设不可压缩流体平面无旋运动，试证明：在运动平面上任取周长线为S所围的单位厚度的流体块的动能可写为：,93,伯努利方程的适用条件：(1)无粘性流体(2)不可压缩流体(3)定常流动(4)质量力为有势力（保守力）,伯努利方程,理想不可压缩流体在重力作用下作定常运动时，流体的总机械能（动能、重力势能、压力能之和）沿着流线或迹线守恒。,94,对于理想流体，动能方程简化为：,理想流体动能的变化，仅仅是由质量力和压力梯度力对流体微团作功造成的，而与热能不发生任何转换。,故最终理想流体的动能方程可以写成：,又因为,95,假设质量力是有势力，且质

20、量力位势为，即满足：,如考虑 为一定常场，则有：,96,理想流体的动能方程,假设质量力是有势力且为定常场,97,理想流体微团的动能方程：,不可压缩,定常,98,等式左端括号内部分的个别变化为零，即：,理想不可压缩流体在重力作用下作定常运动时，流体的总机械能（动能、重力势能、压力能之和）沿着迹线守恒。,99,定常运动:流体运动的迹线和流线是重合,于是沿流体运动的流线也有：,伯努利方程,100,伯努利方程,101,定常,不可压缩,各项点乘速度矢量,102,例2-4-2理想不可压流体，所受质量力仅为重力的情况下作定常运动时，其中一流管如图所示，已知O点压力和速度均为零，讨论此时图中处于同一流线上A、

21、B两点的流速VA、VB及压力PA、PB间的相对大小。,O,103,皮托管，又名“空速管”，“风速管”，英文是Pitot tube。皮托管是确定气流速度的一种管状装置，由法国H.皮托发明而得名。下图是皮托管的结构示意图。它是由两个同轴细管组成,内管的开口在正前方,如图中A所示。外管的开口在管壁上,如图中B所示。两管分别与U型管的两臂相连,在U型管中盛有液体(如水银),构成了一个压强计,由U型管两臂的液面高度差h确定气体的流速。,VA0,VB？,皮托管示意图,104,例：求定常条件下水从容器壁小孔中流出时的速率。,解：水从小孔中流出时的流速可以根据伯努利方程求解。设ABC为一条流线。A和B分别是这

22、条流线在水面和小孔处的两点,其中水面上点A和孔口处点B都与大气接触,所以那里的压强都等于大气压p0。容器的横截面比小孔的截面大得多,根据连续性方程,VA VB,故可以认为VA=0。将以上条件代入上式,即可求得小孔处的流速,为,h,105,第五节 简单情况下的NS方程的准确解,流体力学的基本方程组：,运动方程,连续方程,考虑流体为均匀不可压缩（=常数），且粘性系数为常数（=常数）的情况下，方程组是闭合的。,106,求解流体力学问题的一般方法，就是求解这样的闭合的方程组并使之适合应当的初始条件和边界条件。,由于流体运动方程含有如平流加速度的非线性项，它是一个非线性方程组，在数学上求解这样一个非线方

23、程组是难以做到的。,求解方程组前，对初始条件和边界条件进行介绍。,本节通过简单问题的求解了解基本方法,107,在初始时刻，基本方程组之解所应满足的既定条件，即在 时，在定常流场的情况下，所有的流场参数均与时间无关，因而不存在初始条件的问题。,（1）初始条件,108,当流体流经固体壁时，必须满足不可穿透条件和无滑脱条件。,（2）边界条件,而当固体壁运动时，则满足：,当固体壁静止时，满足：,固体壁边界,流体与固体分界面上的条件,109,（2）边界条件,在自由表面上，两种流体在边界面上的法向速度应该相等，即：,另外，如果不考虑表面张力，两种流体质点在边界面上的法向应力应该相等，即:,流体,空气,流体

24、与流体分界面上的条件,110,一、平面库埃托流动（Plane Couette Flow）,h,h,U,u？,z,x,考虑如下简单流动，设流体在两相距为2h的无界平行平板间，沿 x 轴作定常直线平面运动，此时满足：试确定流体的速度分布。,上平板匀速运动,下平板静止,111,考虑了xoz平面的运动，则,假设流体是不可压缩的：,可见，u仅仅是 z 的函数,作定常直线平面运动,112,N-S方程简化为：,积分,沿 x 轴作定常直线平面运动,质量力为重力：,流体是不可压缩的。,113,方程第一式可以得到：,积分上式可以得到：,114,设在x方向的压力分布均匀，即：已知边界条件：最终可以得到：,上式即给出

25、了平面库埃托流动的流速分布，流速沿z轴呈线性分布。,115,二、平面普瓦瑟耶流动（Plane Poiseuille Flow）,h,h,z,x,在平面库埃托流动的基础上，假定沿 x方向的压力梯度不为零，而上、下板处于静止状态。,下平板静止,上平板静止,116,此时，边界条件为：,即为平面Poiseuille流动的流速分布，流速沿 z 轴方向呈抛物线分布。,将边界条件代入方程通解中，可以得到：,117,埃克曼流动（Ekman Flow）,18931896年，挪威海洋调查船“前进”号横越北冰洋时，F.南森观察到冰山不是顺风漂移，而是沿着风向右方2040的方向移动。1905年，V.W.埃克曼研究了这

26、种现象，得出了著名的埃克曼漂流理论。,118,三、埃克曼流动,埃克曼螺线：风向随高度增大而向右旋转（北半球），风速随高度增加而增大，不同高度的风速矢量末端的连线为一螺线。,119,考虑粘性系数和密度均为常数 的流体，在旋转角速度为 的旋转坐标系中的运动，此时出现了地转偏向力的作用。,而地转偏向力为：,假设流体作平面运动，该平面绕轴转动，则流速表示为：,120,假设流体相对于旋转参考系无加速度，且无质量力作用，其运动方程（N-S方程）为：,地转偏向力为：,121,假设p与x，y，z无关,地转偏向力与粘滞力相平衡,122,考虑u、v 仅是 z 的函数，即满足：；则可得到如下关系式,由以上二式所确定

27、的流动即为埃克曼流动。,123,引进复速度，方程组可以变为：,埃克曼流动的求解,124,埃克曼流动的求解,125,求解以上方程，并使之满足这样的边界条件：,则可得：,126,上式表明，在科氏力与粘性力相平衡的条件下，自海面向下，洋流速度逐渐减小，以至在很深的海底减弱消失，且流动方向自上而下绕轴呈顺时针旋转。,当然，这里仅仅讨论了最简单的结果，埃克曼流动在海洋学和气象学的实际应用中要复杂的多。,127,例2-5-1：不可压缩粘性流体在静止的无界的平行平板间作定常直线运动，平行平板间的距离为2h，平板与水平面的夹角为，试求出其速度的分布。,h,h,u,z,x,128,z,h,h,u,z,x,129

28、,说明：以上通过讲述简单问题的求解，目的在于让大家了解求解流体运动的闭合方程组的一般思路：即根据条件，简化闭合方程组，然后进行求解。,130,本章总结,1连续方程（1）Lagrange观点下的流体连续方程；（2）Euler观点下的流体连续方程；（3）自由表面的流体连续方程；（4）定常流管的流体连续方程。2作用于流体的力、应力张量（1）质量力和表面力；（2）应力张量；（3）广义的牛顿粘性假设；（4）法应力和切应力。,131,3运动方程（1）NavierStokes方程；（2）欧拉方程；（3）静力方程；4能量方程（1）动能方程；（2）热流量方程；（3）伯努利方程。5简单情况下的N-S方程的准确解 埃克曼流动的特征。,132,第一、二章例题,133,请证明无辐散的平面无旋流动：（1）流函数和势函数都是调和函数（满足二维拉普拉斯方程)（2）等势函数线和等流函数线正交。,134,说明应力分量 及 表示的物理意义。,135,136,137,