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1、,微分方程的基本概念,第一章,积分问题,微分方程问题,推广,微分方程理论起始于十七世纪末，是研究自然现象强有力的工具，是数学科学联系实际的主要途径之一。1676年，莱布尼兹在给Newton（牛顿）的信中首次提到Differential Equations（微分方程）这个名词。微分方程研究领域的代表人物：Bernoulli、Cauchy、Euler、Taylor、Leibniz、Poincare、Liyapunov等。微分方程理论发展经历了三个过程：求微分方程的解；定性理论与稳定性理论；微分方程的现代分支理论。,微分方程概述,引例1.,一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的,解:设所求曲线
2、方程为 y=y(x),则有如下关系式:,(C为任意常数),由 得 C=1,因此所求曲线方程为,由 得,切线斜率为 2x,求该曲线的方程.,质量为m的物体在重力的作用下，沿铅直线下落物体下落距离S(向下为正）随时间 t 而改变。在不考虑空气阻力的情况下，试求出距离 S 应满足的微分方程。,解：设在时刻 t 物体下落的距离为,引例2.,按牛顿第二定律,微分方程：含未知函数及其导数的方程,一、微分方程的概念,例,实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,常微分方程与偏微分方程,常微分方程（ODE）：自变量的个数只有一个的,偏微分方程（PDE）：自变量的个数有两个或两个
3、,微分方程称为常微分方程。,以上的微分方程称为偏微分方程。,(n 阶显式微分方程),n 阶常微分方程的一般形式：,或,一、微分方程的概念,微分方程的阶：方程中所含未知函数导数的最高阶数,一阶微分方程的一般形式：,线性和非线性微分方程（Linear and Nonlinear）,如果方程,的左端为未知函数及其各阶导数的一次有理整式，则称它为线性微分方程.否则，称它为非线性微分方程。,n阶线性微分方程的一般形式为：,其中,均为 的已知函数,如：2阶线性方程的一般形式,使方程成为恒等式的函数.,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,的阶数相同.,特解,通解:,特解:,微分方程的解：,不含任意常数
4、的解.,确定通解中任意常数的条件.,n 阶方程的初始条件：,定解条件（初始条件）：,通解:,特解:,一阶和二阶方程初值问题（Cauchy Problem）的表示,例1.验证函数,是微分方程,的解,的特解.,解:,是方程的通解.,由初始条件易得:,故所求特解为：,并求满足初始条件,为常数）,积分曲线和积分曲线族(Integral Curve(s),一阶微分方程,的解,平面的一条,曲线，我们称它为微分方程的积分曲线，而微分方程的通解,表示,表示,平面的一族曲线，称它们为微分方程,的积分曲线族.,特解的图象:积分曲线.,通解的图象:积分曲线族.,通解:,特解:,方向场（Directional Pat
5、tern）,对于一阶微分方程,其右端函数,的定义域为,在定义域的每一点 处，画一,个小线段，其斜率等于,，此时，点集,就成,为带有方向的点集。称此区域为由方程,确定的方向场.,常微分方程求解的几何意义是：在方向场中寻求一条曲线，使这条曲线上每一点切线的方向等于方向场中该点的方向。,方向场:,例1 画出方程,的方向场。,等倾线方程,即,即，方向场中每点的方向与该点等倾线垂直。,x,y,o,一阶微分方程的初等解法,第二章,可分离变量微分方程,第节,可分离变量方程,设 y(x)是方程的解,两边积分,得,则有恒等式,则有,分离变量方程的解法:,分离变量，两端积分,分离变量法,例1.求微分方程,的通解.
6、,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C 为任意常数),或,说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,(此式含分离变量时丢失的解 y=0),例2.解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C=1,(C 为任意常数),故所求特解为,例3.,子的含量 M 成正比,求在,衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t 的变化规律.,解:根据题意,有,(初始条件),对方程分离变量,即,利用初始条件,得,故所求铀的变化规律为,然后积分:,已知 t=0 时铀的含量为,已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,求下列方程的通解和要求的特解:,提示:,(2)分离变量,练习:,(1)
7、分离变量,作业,P 26 3(1),（3)4P 28 8(1),(3),（5）P 42 1(2),(3),（73）(9),(10),例4.设曲线 过点,.在曲线上任取,和曲线 围成的面积是另一条平行线与y 轴,和曲线 围成的面积的2倍，求曲线的方程.,一点，作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与x 轴,解:,两边同时对 求导,分离变量，积分得,可分离变量的方程,可化为分离变量的类型,第节,齐次方程,第十二章,的微分方程称为齐次方程.,一、齐次方程的解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,分离变量，积分后再用,代替 u,便得原方程的通解.,例1.解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量，积分
8、得,得,故原方程的通解为,(当 C=0 时,y=0 也是方程的解),(C 为任意常数),则,例2.解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,(C 为任意常数),方程变形为,1 求微分方程满足,微分方程的通解为,解：,练习:,方程变形为,则,的特解.,2 求解微分方程,解,则,例3 设有连接点O(0,0)和点A(1,1)的一段向上凸的曲,线弧,对于 上任意一点 P(x,y)，曲线弧,与直线段 所围图形的面积为,求弧 的方程.,解：设弧 的方程为,则所围图形的面积为：,解：设弧 的方程为,，则,两边求导,齐次方程,依题意得弧 的方程为：,方程的通解为,求微分方程满足,微分方程
9、的通解为,解：,练习:,求导，得,的特解.,一阶线性微分方程,第四节,一、一阶线性微分方程的定义和分类,第十二章,二、一阶线性微分方程的解法,一阶线性微分方程的标准形式:,上述方程称为齐次的.,上述方程称为非齐次的.,一、一阶线性方程的定义,例如,线性的;,非线性的.,齐次方程的通解为：,1.线性齐次方程,二、一阶线性微分方程的解法,可分离变量的方程,只写一个原函数,2.线性非齐次方程,讨论,与齐次方程通解相比:,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,设,是方程 的解，则,积分得,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解公式为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,一阶线性非奇次
10、方程解的结构,解：,例1,本章类似积分可不加绝对值,例2,解：,化为标准型：,例3.求方程 的通解.,解法一:一阶线性微分方程公式,例3.求方程 的通解.,解法二:分离变量法,例4 如图所示，平行于 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.,两边求导得,解,解此微分方程,所求曲线为,例5：设曲线上任意一点 P(x,y)处的切线与射线 OP 以及y 轴围成图形的面积是常数a.求曲线的方程.,切线方程：,令 X=0,得 A 点的纵坐标,例6：求下列方程的解,例6：求下列方程的解,两边求导，得,积分方程有时会蕴含定解条件,例6：求下列方程的解,（3）设y(x)当x0 时可微，且满足,求 y.,两次求导,3、设,在,上连续，且,单调减少，,单调增加。,证明：,证明：,当,当,所以命题成立。,不能再次求导,作业,P 304 1(1),（2），(5),（6），(7),(9)2(1),(2),(3);6P 309 1(1);2(1),（2）;3P 315 1(1),(2),（3）;2(1);3,
