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1、概率论与数 理 统 计,1.2 概率定义及性质率,公理化定义,统计定义,描述性定义,苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出,历史上概率的三次定义,一、概率的描述性定义,。,二、概率的统计定义,1.频率的概念,频率反映了事件A在一次试验中发生的可能性大小，频率大，事件A在一次试验中发生的可能性就大；频率小，事件A在一次试验中发生的可能性就小。,逐渐稳定,频率的稳定性,事件发生的概 率,事件发生的频 率,根据如下百年统计资料可得世界每年发生大地震的概率,2.频率的应用,近百年世界重大地震,1905.04.04 克什米尔地区 8.0 88 万1906.08.17 智利瓦尔帕莱索港地区 8.4 2 万1917.0
2、1.20 印度尼西亚巴厘岛 1.5 万1920.12.16 中国甘肃 8.6 10 万1923.09.01 日本关东地区 7.9 14.2 万1935.05.30 巴基斯坦基达地区 7.5 5 万,“重大”的标准,震级 7 级左右,死亡 5000人以上,1948.06.28 日本福井地区 7.3 0.51 万1970.01.05 中国云南 7.7 1 万1976.07.28 中国河北省唐山 7.8 24.2 万1978.09.16 伊朗塔巴斯镇地区 7.9 1.5 万1995.01.17 日本阪神工业区 7.2 0.6 万1999.08.17 土耳其伊兹米特市 7.4 1.7 万2003.12
3、.26 伊朗克尔曼省 6.8 3 万2004.12.26 印尼苏门答腊岛附近海域 9.0 15 万,世界每年发生大地震概率约为14%,3.频率的统计定义,对本定义的评价,优点：直观 易懂,缺点：粗糙 模糊,不便使用,注:“频率的极限就是概率”这句话是不正确,从频率的定义可见频率具有如下性质,（）非负性,（）规范性,（）可加性,可加性可以推广到任意有限多个两两互不相容事件。,4.频率的性质,（4）,（5）,（6）,则,若,三、概率的公理化定义,定义 定义在事件域F上的一个集合函数,称为概率。,非负性：,3.可列可加性：,2.规范性：,如果它满足如下三个条件：,若,且两两互不相容,有,（1）不可能
4、事件的概率为0，即,逆命题不一定成立，即概率为0的事件不一定是不可能事件。,（2）有限可加性,两两互不相容,（3）,四、概率的性质,（4）减法公式，,推论1：,推论2：,任一事件A，,（5）一般加法公式，对任意两事件A、B，有,推论2：,推论3：,任一事件A，B,推论1：,推论3：,注:由可列可加性可以推出有限可加性，但是一般来说由有限可加性并不能推出可列可加性,例1.2.1 设A,B,互不相容，且,试求:,例设,试求:,例1.2.3 设A,B,C为三个事件,且,证明:,例设,试求:,A,B,C为三个事件至少有一个发生的概率.,例1.2.5 设A,B,C为三个事件,证明,柯尔莫哥洛夫,(A.H
5、.1903-1987),1939年任苏联科学院院士.先后当选美,法,意,荷,英,德 等国的外籍院士 及皇家学会会员.为 20 世纪最有影响的俄国数学家.,俄国数学家,柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一系列重要分支作出重大贡献.,他建立了在测度论基础上的概率论公理系统,奠定了近代概率论的基础.,他又是随机过程论的奠基人之一,其主要工作包括:,20年代 关于强大数定律、重对数律的基本工作;,1933年在概率论的基本概念一文中提出的概率论公理体系(希尔伯特第6问题),30年代建立的马尔可夫过程的两个基本方程;,用希尔伯特空间的几何理论建立弱平稳序列的线性理论;,40年代完成独立和的弱极限理论,经验分布的柯尔莫哥洛夫统计量等;,在动力系统中开创了关于哈密顿系统的微扰理论与K系统遍历理论;,50年代中期开创了研究函数特征的信息论方法,他的工作及随后阿诺尔德的工作解决并深化了希尔伯特第13问题用较少变量的函数表示较多变量的函数;,1980年由于它在调和分析,概率论,遍历理论 及 动力系统方面 出色的工作获沃尔夫奖;,他十分重视数学教育,在他的指引下,大批数学家在不同的领域内取得重大成就.其中包括.M.盖尔范德,B.阿诺尔德,.西奈依等人.,他还非常重视基础教育,亲自领导了中学 数学教科书的编写工作.,60年代后又创立了信息算法理论;,
