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1、2023年11月6日星期一,1,新课引入,(Introduction),在前一节，我们利用复合函数的求到法则得到了,“换元积分法”。,但是，,对于形如,的积分用直接积分法或换元积分法都无法计算.,注意到，,这些积分的被积函数都有共同的特点,都是两种不同类型函数的乘积。,这就启发我们把两个,这就是另一个基本的积分方法：分部积分法.,函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，,2023年11月6日星期一,2,积分得:,分部积分公式,或,1)v 容易求得;,容易计算.,由导数乘法公式：,2023年11月6日星期一,3,第三节 分部积分法,第四章,（Integration by Parts）,例1
2、求,解:令,则,原式,另解:令,则,原式,2023年11月6日星期一,4,解:令,则,原式=,例2 求,（课本 例3）,2023年11月6日星期一,5,解:令,则,原式,例3 求,（课本例4）,2023年11月6日星期一,6,解:令,则,原式,再令,则,故 原式=,说明:也可设,为三角函数,但两次所设类型,必须一致.,例4 求,（课本例7）,2023年11月6日星期一,7,把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的,顺序,前者为 后者为,例5（补充题）求,解:令,则,原式=,反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数,解题技巧:,（自学课本例56）,2023年11月6日星
3、期一,8,解:令,则,原式=,例6（补充题）求,2023年11月6日星期一,9,解:令,则,原式,令,例7（课本 例10）求,2023年11月6日星期一,10,解:令,则,得递推公式,例8 求,（课本 例9）,2023年11月6日星期一,11,递推公式,已知,利用递推公式可求得,例如,说明:,2023年11月6日星期一,12,分部积分题目的类型:,1)直接分部化简积分;,2)分部产生循环式,由此解出积分式;,(注意:两次分部选择的 u,v 函数类型不变,解出积分后加 C),例4,3)对含自然数 n 的积分,通过分部积分建立递 推公式.,说明:,2023年11月6日星期一,13,的一个原函数是,
4、求,解:,说明:此题若先求出,再求积分反而复杂.,例9 已知,（补充题）,2023年11月6日星期一,14,解法1 先换元后分部,令,即,则,故,例10 求,（补充题）,2023年11月6日星期一,15,解法2 用分部积分法,2023年11月6日星期一,16,本节小结,分部积分公式,1.使用原则:,2.使用经验:,“反对幂指三”,前 u 后,3.题目类型:,分部化简;,循环解出;,递推公式,2023年11月6日星期一,17,课后练习,习题4-3（偶数题）,思考与练习,1.下述运算错在哪里?应如何改正?,得 0=1,答:不定积分是原函数族,相减不应为 0.,求此积分的正确作法是用换元法.,2023年11月6日星期一,18,2.求不定积分,解：,方法1,(先分部,再换元),令,则,2023年11月6日星期一,19,方法2,(先换元,再分部),令,则,故,2023年11月6日星期一,20,3.,求,解:,令,则,2023年11月6日星期一,21,4.证明递推公式,证：,注：,或,
