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1、ACM程序设计,杭州电子科技大学 刘春英,2023/11/7,2,上一周，,你 了吗？,练习,2023/11/7,3,每周一星（7）：,07054202,2023/11/7,4,第八讲,母函数及其应用（Generation function）,2023/11/7,5,从递推关系说起,2023/11/7,6,研究以下多项式乘法：,可以看出：x2项的系数a1a2+a1a3+.+an-1an中所有的项包括n个元素a1，a2，an中取两个组合的全体；同理：x3项系数包含了从n个元素a1，a2，an中取3个元素组合的全体；以此类推。,(81),2023/11/7,7,若令a1=a2=an=1，在（8-1
2、）式中a1a2+a1a3+.+an-1an项系数中每一个组合有1个贡献，其他各项以此类推。故有：,（82）,特例：,2023/11/7,8,母函数定义：,对于序列a0，a1，a2，构造一函数：,称函数G(x)是序列a0，a1，a2，的母函数,2023/11/7,9,For example:,(1+x)n是序列C(n,0),C(n,1),.,C(n,n)的母函数。如若已知序列a0，a1，a2，则对应的母函数G(x)便可根据定义给出。反之，如若已经求得序列的母函数G(x)，则该序列也随之确定。序列a0，a1，a2，可记为an。,2023/11/7,10,实 例 分 析,2023/11/7,11,例
3、1：若有1克、2克、3克、4克的砝码各一 枚，能称出哪几种重量？各有几种可能方案？,如何解决这个问题呢？考虑构造母函数。如果用x的指数表示称出的重量，则：1个1克的砝码可以用函数1+x表示，1个2克的砝码可以用函数1+x2表示，1个3克的砝码可以用函数1+x3表示，1个4克的砝码可以用函数1+x4表示，,2023/11/7,12,几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：,(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10,从上面的函数知道：可称出从1克到10
4、克，系数便是方案数。例如右端有2x5 项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。故称出6克的方案有2，称出10克的方案有1,2023/11/7,13,例2：求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数,因邮票允许重复，故母函数为：,以展开后的x4为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4；即：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2,2023/11/7,14,概念：整数拆分,所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个球）。整数拆分成若干整数的和，办法
5、不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。,2023/11/7,15,练习（写出以下问题的母函数）：,例3：若有1克砝码3枚、2克砝码4枚、4克砝码2枚，问能称出哪几种重量？各有几种方案？,例4:整数n拆分成1，2，3，m的和，求其母函数。,例5：如若上例中m至少出现一次，其母函数又如何？,2023/11/7,16,如何编写程序实现母函数的应用呢？,核心问题,关键：对多项式展开,2023/11/7,17,以整数拆分为例：,观察以下的母函数：,首先思考：如果让你手工计算，你是怎样处理的？,实际编程：让计算机按照自己的思路计算即可,/Author by lwg#include using namespac
6、e std;const int lmax=10000;int c1lmax+1,c2lmax+1;int main()int n,i,j,k;while(cinn)for(i=0;i=n;i+)c1i=0;c2i=0;for(i=0;i=n;i+)c1i=1;for(i=2;i=n;i+)for(j=0;j=n;j+)for(k=0;k+j=n;k+=i)c2j+k+=c1j;for(j=0;j=n;j+)c1j=c2j;c2j=0;coutc1nendl;return 0;,2023/11/7,19,主打例题：HDOJ_1398 Square Coins,Sample Input210300
7、 Sample Output1427,2023/11/7,20,算法分析：,典型的利用母函数可解的题目。G(x)=(1+x+x2+x3+x4+)(1+x4+x8+x12+)(1+x9+x18+x27+),2023/11/7,21,/HDOJ_1398 Square Coins#include using namespace std;const int lmax=300;int c1lmax+1,c2lmax+1;int main(void)int n,i,j,k;while(cinn,2023/11/7,22,/HDOJ_1398 Square Coins/变化一点点，灵活多多多int mai
8、n(void)int n,i,j,k;int elem17=1,4,9,16,25,36,169,196,225,256,289while(cinn,2023/11/7,23,思考（1）：,HDOJ_1028Ignatius and the Princess III,2023/11/7,24,思考（2）：,HDOJ_1085Holding Bin-Laden Captive!,2023/11/7,25,思考（3）：,HDOJ_1171Big Eventin HDU,2023/11/7,26,思考（4）：,HDOJ_1709The Balance,Any questions?,2023/11/7,28,附：相关作业(hdoj)：,2008ACM ProgrammingExercise(9)_母函数,1，2，3，Go!一定要练习,1028、1709、1085、1171、1398、2069、2152其它相关题目（比如求邮票、硬币之类的组合数、整数的不同拆分数等）,2023/11/7,29,下一讲：,搜索入门,2023/11/7,30,Welcome to HDOJ,Thank You,
