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1、第三章：LTI离散系统的时域分析,Chapter3,Discrete systems,本章要点,单位序列响应和阶跃响应,F,F,LTI离散时间系统的响应,卷积和,F,引言,什么是线性非移变离散系统？,then,非移变系统,then,3.1 LTI离散系统的响应,线性系统：,if,If,3.1 LTI离散系统的响应,一、差分与差分方程,设有序列f(k)，则，f(k+2)，f(k+1)，f(k-1)，f(k-2)等称为f(k)的移位序列。,1.差分运算,离散信号的变化率有两种表示形式：,（1）一阶前向差分定义：f(k)=f(k+1)f(k)（2）一阶后向差分定义：f(k)=f(k)f(k 1)和称
2、为差分算子，无原则区别。（3）差分的线性性质：af1(k)+bf2(k)=a f1(k)+b f2(k)（4）二阶差分定义：2f(k)=f(k)=f(k)f(k-1)=f(k)f(k-1)=f(k)f(k-1)f(k-1)f(k-2)=f(k)2 f(k-1)+f(k-2)（5）m阶差分:mf(k)=f(k)+b1f(k-1)+bmf(k-m),3.1 LTI离散系统的响应,对离散时间信号而言，信号的差分运算表示的是相邻两个序列值的变化率。定义为,3.1 LTI离散系统的响应,2.差分方程,包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式 y(k)+an-
3、1y(k-1)+a0y(k-n)=bmf(k)+b0f(k-m),例1：若描述某系统的差分方程为 y(k)+3y(k 1)+2y(k 2)=f(k)已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2k(k),求y(k)。解：y(k)=3y(k 1)2y(k 2)+f(k)y(2)=3y(1)2y(0)+f(2)=2 y(3)=3y(2)2y(1)+f(3)=10 一般不易得到解析形式的(闭合)解。,4、变换域法（Z变换法）,逐次代入求解，概念清楚，比较简便，适用于计算机，缺点是不能得出通式解答。,1、迭代法,2、时域经典法,3、全响应零输入响应零状态响应零输入响应求解与齐次通解方法相同零
4、状态响应求解利用卷积和法求解，十分重要,求解过程比较麻烦，不宜采用。,求解常系数线性差分方程的方法一般有以下几种,全响应齐次通解 特解,自由响应 强迫响应,3.1 LTI离散系统的响应,二、差分方程的经典解,y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=bmf(k)+b0f(k-m),与微分方程经典解类似，y(k)=yh(k)+yp(k),1.齐次解yh(k),3.1 LTI离散系统的响应,例2：一阶齐次方程的解,的级数,c是待定常数，有初始条件决定,是个公比为,齐次方程 y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=0其特征方程为 n+an-1n 1+a0=0其根i(i=1，2，n)
5、称为差分方程的特征根。,特征根,单实根,重实根,齐次解,不同特征根所对应的齐次解,3.1 LTI离散系统的响应,2.特解yp(k):特解的形式与激励的形式雷同。,一般情况不同激励所对应的特解,特征根,重等于 的特征根,特征根,特征单根,重特征根,3.1 LTI离散系统的响应,例3：若描述某系统的差分方程为 y(k)+4y(k 1)+4y(k 2)=f(k)已知初始条件y(0)=0，y(1)=1；激励f(k)=2k，k0。求全解。,解：特征方程为 2+4+4=0 可解得特征根1=2=2，其齐次解为 yh(k)=(C1k+C2)(2)k 特解为 yp(k)=P(2)k,k0 代入差分方程得 P(2
6、)k+4P(2)k 1+4P(2)k2=f(k)=2k，P=1/4 特解 yp(k)=2k2,k0,3.1 LTI离散系统的响应,故全解为 y(k)=yh+yp=(C1k+C2)(2)k+2k2,k0 代入初始条件,求得C1=1,C2=1/4。故全解为 y(k)=(k 1/4)(2)k+2k2,k0,yh(t),（自由响应）,yp(t),(强迫响应),y(k)=yzi(k)+yzs(k)设激励f(k)在k=0时接入系统，初始状态：y(1),y(2),，y(n)初始值：y(0),y(1),y(2),，y(n-1)由yzi(k)和 yzs(k)的定义可知，其初始状态分别为 yzs(1)=yzs(2
7、)=yzs(n)=0 y(1)=yzi(1),y(2)=yzi(2),，y(n)=yzi(n)然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应的初始值yzi(j)和yzs(j)(j=0,1,2,，n 1),3.1 LTI离散系统的响应,三、零输入响应和零状态响应,例4：若描述某离散系统的差分方程为 y(k)+3y(k 1)+2y(k 2)=f(k)已知激励f(k)=2k,k0，初始状态y(1)=0,y(2)=1/2,求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。,解：（1）yzi(k)满足方程 yzi(k)+3yzi(k 1)+2yzi(k 2)=0其初始状态 yzi(1)=y(1)=0,yzi(2)=
8、y(2)=1/2首先递推求出初始值yzi(0),yzi(1),yzi(k)=3yzi(k 1)2yzi(k 2),3.1 LTI离散系统的响应,yzi(k)=3yzi(k 1)2yzi(k 2)yzi(0)=3yzi(1)2yzi(2)=1 yzi(1)=3yzi(0)2yzi(1)=3方程的特征根为1=1，2=2，其解为 yzi(k)=Czi1(1)k+Czi2(2)k 将初始值代入 并解得 Czi1=1,Czi2=2 所以 yzi(k)=(1)k 2(2)k,k0,yzs(k)+3yzs(k 1)+2yzs(k 2)=f(k)yzs(1)=yzs(2)=0递推求初始值 yzs(0),yzs
9、(1)，yzs(k)=3yzs(k 1)2yzs(k 2)+2k,k0 yzs(0)=3yzs(1)2yzs(2)+1=1 yzs(1)=3yzs(0)2yzs(1)+2=1分别求出齐次解和特解，得 yzs(k)=Czs1(1)k+Czs2(2)k+yp(k)=Czs1(1)k+Czs2(2)k+(1/3)2k代入初始值求得 Czs1=1/3,Czs2=1 所以 yzs(k)=(1)k/3+(2)k+(1/3)2k,k0,3.1 LTI离散系统的响应,（2）零状态响应yzs(k)满足,3.1 LTI离散系统的响应,零输入响应,零状态响应,Czii,Ci,仅由系统的初始状态决定。,由初始状态和激
10、励决定。,3.2 单位序列响应和阶跃响应,3.2 单位序列响应和阶跃响应,3.2 单位序列响应和阶跃响应,3.2 单位序列响应和阶跃响应,二、单位序列响应,由单位序列(k)所引起的零状态响应称为单位序列响应或单位样值响应或单位取样响应，或简称单位响应，记为h(k)。,例1：求如图所示离散系统的单位序列响应h(k)。,方法一：若方程右端只有f(k)，而无移位项-经典法。,3.2 单位序列响应和阶跃响应,根据h(k)的定义 有 h(k)h(k 1)2h(k 2)=(k)（1）h(1)=h(2)=0递推求初始值h(0)和h(1)。,h(k)=h(k 1)+2h(k 2)+(k)h(0)=h(1)+2
11、h(2)+(0)=1 h(1)=h(0)+2h(1)+(1)=1,方程（1）移项写为,解：1）列差分方程，求初始值对加法器列方程 y(k)=y(k-1)+2y(k-2)+f(k)写成差分方程的形式：y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k),2）求h(k)。对于k 0，h(k)满足齐次方程 h(k)h(k 1)2h(k 2)=0 特征方程(+1)(2)=0 所以 h(k)=C1(1)k+C2(2)k，k 0将初始值代入，有 h(0)=C1+C2=1,h(1)=C1+2C2=1 解得 C1=1/3,C2=2/3 h(k)=(1/3)(1)k+(2/3)(2)k,k0或写为 h(k)=(1/
12、3)(1)k+(2/3)(2)k(k),3.2 单位序列响应和阶跃响应,方法二：方程右端除f(k)外，还有f(k)的移位项，分两步：1）设只有(k)作用时，单位序列响应为 h1(k),2）由时不变性：,(k-i),h1(k-i),bm-i(k-i),由齐次性：,bm-i h1(k-i),由叠加性：,3.2 单位序列响应和阶跃响应,例2：求如图所示离散系统的单位序列响应h(k)。,解：1）列差分方程，求初始值,x(k),x(k-1),x(k-2),即 x(k)-x(k-1)-2x(k-2)=f(k)y(k)=x(k-1)-x(k-2)（2）消去x(k)，得 y(k)-y(k-1)-2y(k-2)
13、=f(k-1)-f(k-2),x(k)=f(k)+x(k-1)+2x(k-2)（1）,3.2 单位序列响应和阶跃响应,分别对2个加法器列方程,解：2）求h(k)h(k)满足 h(k)h(k 1)2h(k 2)=(k-1)(k 2)令只有(k)作用时，系统的单位序列响应h1(k),满足 h1(k)h1(k 1)2h1(k 2)=(k)由上例可知 h1(k)=(1/3)(1)k+(2/3)(2)k(k)根据线性和时不变性 h(k)=h1(k-1)h1(k 2)=(1/3)(1)k-1+(2/3)(2)k-1(k-1)(1/3)(1)k 2+(2/3)(2)k2(k 2),3.2 单位序列响应和阶跃
14、响应,三、阶跃响应,由于,(k)=(k)(k 1)=(k),所以,h(k)=g(k),3.2 单位序列响应和阶跃响应,由单位阶跃序列(k)所引起的零状态响应称为单位阶跃响应简称阶跃响应，记为g(k)。,3.2 单位序列响应和阶跃响应,求g(k)的方法 经典法 由h(k)求出例3：已知某系统的差分方程为 y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)求单位阶跃响应g(k)。经典法：g(k)-g(k-1)-2g(k-2)=(k)g(-1)=g(-2)=0 对k0,g(k)-g(k-1)-2g(k-2)=1 齐次解：gh(k)=c1+c2 特解：gp(k)=p0=-g(k)=c1+c2-k0,g(
15、0)=c1+c2-=1 c1=1/6 g(1)=-c1+2c2-=2 c2=4/3g(k)=(k)利用h(k)求g(k):h(k)=(k)g(k)=,3.2 单位序列响应和阶跃响应,求和公式：,3.2 单位序列响应和阶跃响应,g(k)=k0,3.2 单位序列响应和阶跃响应,3.3 卷积和,一、卷积和,1.序列的时域分解,f(k)=+f(-1)(k+1)+f(0)(k)+f(1)(k-1)+f(2)(k-2)+f(i)(k i)+,任意离散序列f(k)可表示为,2.任意序列作用下的零状态响应,根据h(k)的定义：,(k),h(k),由时不变性：,(k-i),h(k-i),f(i)(k-i),由齐
16、次性：,f(i)h(k-i),由叠加性：,f(k),yzs(k),卷积和,3.3 卷积和,3.卷积和的定义,已知定义在区间（，）上的两个函数f1(k)和f2(k)，则定义和,为f1(k)与f2(k)的卷积和，简称卷积；记为 f(k)=f1(k)*f2(k)注意：求和是在虚设的变量 i 下进行的，i 为求和变量，k 为参变量。结果仍为k 的函数。,3.3 卷积和,例1：f(k)=a k(k),h(k)=b k(k)，求yzs(k)。,解：yzs(k)=f(k)*h(k),当i k时，(k-i)=0,注意：(k)*(k)=(k+1)(k),3.3 卷积和,例2,3.3 卷积和,二、卷积的图解法,卷
17、积过程可分解为四步：（1）换元：k换为 i得 f1(i)，f2(i)（2）反转平移：由f2(i)反转 f2(i)右移k f2(k i)（3）乘积：f1(i)f2(k i)（4）求和：i 从 到对乘积项求和。注意：k 为参变量。,3.3 卷积和,3.3 卷积和,3.3 卷积和,相乘，取和,3.3 卷积和,例4：f1(k)、f2(k)如图所示，已知 f(k)=f1(k)*f2(k)，求f(2)=？,解：,（1）换元,（2）f2(i)反转得f2(i),（3）f2(i)右移2得f2(2i),（4）f1(i)乘f2(2i),（5）求和，得f(2)=4.5,f2(i),f2(2i),3.3 卷积和,三、卷
18、积和的性质（重点）,3.3 卷积和,卷积和运算满足交换律，分配律，结合律,（1）交换律,（2）结合律,（3）分配律,(2)f(k)*(k k1)=f(k k1),(5)f(k)*(k)=,(4)f1(k k1)*f2(k k2)=f1(k k1 k2)*f2(k),(6)f1(k)*f2(k)=f1(k)*f2(k)=f1(k)*f2(k),3.3 卷积和,与(k)卷积和:,(1)f(k)*(k)=f(k),(3)f1(k k1)*(k k2)=f1(k k1 k2),例5,3.3 卷积和,例6:如图复合系统由三个子系统组成，其中h1(k)=(k)，h2(k)=(k 5)，求复合系统的单位序列
19、响应h(k)。,解:根据h(k)的定义，有,h(k)=(k)*h1(k)(k)*h2(k)*h1(k)=h1(k)h2(k)*h1(k),=h1(k)*h1(k)h2(k)*h1(k)=(k)*(k)(k 5)*(k)=(k+1)(k)(k+1 5)(k 5)=(k+1)(k)(k 4)(k 5),3.3 卷积和,例7 如图复合系统由两个子系统级联组成，其中h1(k)=2cos(k)，h2(k)=(k)，激励f(k)=(k)(k-1)，求复合系统的零状态响应响应yzs(k)。,解,yzs(k)=f(k)*h1(k)*h2(k)=(k)(k-1)*2cos(k)*(k)=2cos(k)*(k)-(k-1)=2cos(k)*(k)=2cos(k),3.3 卷积和,求卷积和是本章的重点与难点。求解卷积和的方法可归纳为：（1）利用定义式，直接进行求和。对于容易求和的序列比较有效。如指数数列。（2）图解法。适用于求某时刻点上的卷积和值。（3）利用性质。,作业：P110 3.6(4)3.12(4)3.22,3.3 卷积和,
